§ 9.2. Разложение функции аберрации

9.2.1. Круговые полиномы Цернике.

При изучеиии эффектов аберраций в рамках геометрической оптики (см. гл. 5) мы разлагали функцию аберраций Ф в степенной ряд. Здесь же, поскольку интегрирование производится по единичному кругу, удобнее разлагать Ф по полной системе полиномов, ортогональных внутри единичного круга Существует много систем полномов, обладающих таким свойством; однако одна из них, введенная Цернике [23], обладает еще и простыми свойствами инвариантности. В приложении 7 дан вывод круговых полиномов Цернике и обсуждаются некоторые их свойства; здесь мы приведем лишь те формулы, которые потребуются в настоящей главе.

Круговые полиномы Цернике представляют собой полиномы от двух действительных переменных если выразить в полярных координатах то полиномы имеют вид

где — целые числа, — четное число. Ортогональность и нормировка полиномов выражаются формулами

где символ Кронекера, а звездочка обозначает комплексное сопряжение. Радиальные функции являются полиномами по содержащими степени , как показано в приложении 7, они тесно связаны с полиномами Якоби (вырожденными гипергеометрическими функциями). Как видно из (1) и (2), радиальные полиномы удовлетворяют соотношениям 1

Они определяются следующими формулами

или

Нормировка выбрана так, чтобы при всех возможных значениях пит

Радиальные полиномы имеют образующую функцию

При правая часть (7) превращается в образующую функцию полиномов Лежандра от аргумента , т. е.

В табл. 9.1 приведены в явном виде радиальные полиномы для нескольких первых значений индексов.

Таблица 9.1. (см. скан) Радиальные полиномы для

В теории Нижбера — Цернике важную роль играет следующее соотношение (также доказанное в приложении):

где — функция Бесселя первого рода.

Вместо комплексных полиномов V можно использовать вещественные полиномы

Мы будем в дальнейшем применять только полиномы так как волновые искажения симметричны относительно меридиональной плоскости , следовательно, функция аберраций является четной функцией е.