13.5.1. Математическое решение проблемы

а. Представление пиля через потенциалы Девая. Рассмотрим дифракцию плоской линейно поляризованной монохроматической волны на сфере радиуса , находящейся в однородной изотропной среде. Предположим, что среда, в которой находится сфера, является непроводящей и что как среда, так и сфера немагнитны.

Как обычно, выделим зависимость от времени в виде множителя . Тогда электрический и магнитный векторы и вне, и внутри сферы удовлетворяют уравнениям Максвелла в форме, не зависящей от времени, т. е.

где

Квадрат обычного волнового числа (вещественного вне сферы и комплексного внутри ее) равен

Величины, которые относятся к среде, окружающей сферу, снабдим значком I, а величины, относящиеся к сфере, — значком II. Поскольку, по предположению, среда, окружающая сферу, является непроводящей,

Воспользуемся прямоугольной системой координат с началом в центре сферы. Пусть ось совпадает с направлением распространения волны, а ось с направлением ее электрического вектора (рис. 13.7).

Рис. 13.7. К рассмотрению дифракции на проводящей сфере.

Если амплитуда электрического вектора падающей волны нормировала на единицу, т. е.

то шесть компонент векторов ноля запишутся в виде

Что касается граничных условий, то в соответствии с п. 1.1.3 мы потребуем лишь, чтобы тангенциальные составляющие векторов Е и Н были непрерывны на поверхности сферы, т. е.

Тогда условие, требующее непрерывности на поверхности сферы радиальных компонент Е и Н, следует из (5) и уравнений Максвелла,

Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, необходимо предположить, что, кроме падающего поля и поля внутри сферы имеется вторичное (рассеянное или дифрагировавшее) поле в среде, окружающей сферу. Таким образом, полное электрическое поле в обеих областях запишется в виде

Подобные же выражения справедливы и для магнитного вектора. Поля можно считать аналогичными соответственно отраженному и проходящему полям при падении на плоскую границу (см. п. 1.5.1). Одиако такая аналогия верна лишь при диаметре сферы, большом по сравнению с длиной во ты. Так как граничные условия должны выполняться для любого момента времени, все тесть векторов должны обладать одинаковой зависимостью от времени

Для настоящей задачи наиболее удобными криволинейными координатами являются сферические координаты определяемые выражениями

При переходе от декартовой системы координат к этой повой системе компоненты произвольного вектора А преобразуются согласно следующим правилам (см., например, [23]):

Определяемые здесь компоненты не совпадают омпоиептами, используемыми в абсолютном дифферс нциальном исчислении Риччи и Леви-Чивита. Там рассматриваются две группы различных, по эквивалентных компонент вектора А — контракариашные ко пюнепгы и коварнейшие компоненты Если — базисные векторы, в общем случае неортогональные и имеющие различную длину, то контравариантные компоненты (по отношению к этим базисным векторам) можно определить как коэффициенты в представлении а ковариантные компоненты — как коэффициенты в представлении где — взаимные базисные векторы, векторы, удовлетворяющие сооншшеииям — символ Кронекера В специальном случае, когда также ортогональны и соответствующие векторы обоих групп параллельны В этом случае можно ввести одну группу естественных компонент которые допускают простую изометрическую интерпретацию они являются ортогональными проекциями вектора А на три направления В случае сферических координат естественные компоненты определяются выражениями (8). Компоненты тензора можно рассматривать аналогичным образом.

Применяя формулы (8) к вектору , получим

В сферических координатах уравнения поля (1) примут вид

Граничные условия (5) теперь запишутся следующим образом:

Уравнения (10) вместе с граничными условиями (11) служат основными уравнениями пашей задачи.

Представим решение этих уравнений как суперпозицию двух линейно независимых полей и каждое из которых удовлетворяет уравнениям (10), причем

и

Нетрудно показать, что такое представление согласуется с нашими уравнениями. Для уравнения примут вид

Подставляя из этих соотношений в получим

Уравнения (14) вместе с образуют систему уравнений для Однако физические поля представляют не все решения этой системы, а лишь те, которые удовлетворяют дополнительному условию . Мы ограничимся именно такими решениями. В сферических координатах при нашем предположении, что дополнительное условие запишется следующим образом:

Оно обеспечивает выполнение оставшегося уравнения (10 б, а). Действительно, подставляя (13) в (106, а), получим

а это соотношение выполняется тождественно на основании (15). Совершенно аналогичные рассуждения применимы и ко второму случаю, когда

Решение с нулевым радиальным магнитным полем называется электрической волной (или поперечной магнитной волной), а решение с пулевым радиальным электрическим полем — магнитной волной (или поперечной электрической волной). Ниже мы покажем, что каждую из волн можно получить из соответствующего скалярного потенциала или которые известны как потенциалы Дебая

При из (10 б, а) сразу же следует, что и можно представить как градиенты скаляра

Если мы положим

то из (16) получим

Как мы видим, уравнениям (13) удовлетворяют

Если подставить (19) в , то найдем

Подстановка в (14) дает два уравнения, первое из которых выражает равенство нулю производной по а второе — производной по одного и тот же выражения. Поэтому, приравнивая это выражение нулю, можно удовлетворить обоим уравнениям. Таким образом, мы получим

С помощью (21) выражение (20) можно переписать в виде

Подставляя (18), (19), (20), (21) и (22) в уравнения (10), легко убедиться, что мы получили решение нашей системы уравнений.

Подобным же образом можно рассмотреть магнитную волну; тогда мы увидим, что эта волна определяется потенциалом удовлетворяющим тому же дифференциальному уравнению (21), что Полным решением уравнений поля служит сумма двух полей, т. е.

Оба потенциала П и П служат решениями дифференциального уравнения (21), которое представляет собой не что иное, как волновое уравнение

записанное в сферических координатах. Для того чтобы компоненты и Н, были непрерывны на сферической поверхности очевидно, достаточно, чтобы на этой поверхности были непрерывны следующие четыре величины:

Иными словами наши граничные условия также разделяются на независимые условия для . Таким образом, рассматриваемая нами дифракционная задача сводится к проблеме получения двух взаимно независимых решений волнового равнения с заданными граничными условиями.

б. Разложение в ряды компонент полей. Вначале мы представим решение волновых уравнений в виде ряда с неопределенными коэффициентами, причем каждый член этого ряда будет каким-то частным решением уравнения. Затем, используя граничные условия, определим коэффициенты.

Будем искать решение в виде

Функции и Ф, как легко проверить прямой подстановкой в (21), должны удовлетворять обычным дифференциальным уравнениям

где — постоянные интегрирования.

Так как ноле Е, Н является однозначной функцией координат, функция П также должна быть однозначной. Это требование налагает определенные условия на .

Для каждого из уравнений (26) можно записать общее решение. Для (26в) оно имеет вид

Условие однозначности требует, чтобы

Следовательно, однозначное решение (26в) имеет вид

Уравнение (266) — это хоротно известное уравнение сферических гармоник. Необходимым и достаточным условием однозначности его решения является

Подставим из (27) в (266) и введем новую переменную

Тогда (266) преобразуется к виду (см. [26])

Решениями последнего уравнения служат присоединенные функции Лежандра, т. е.

Эти функции тождественно равны нулю, если поэтому для каждого I имеется таких функций, а именно функции с

Чтобы проинтегрировать последнее уравнение (26а), положим

Тогда мы получим уравнение Бесселя (см. [26])

Решением этого уравнения является цилиндрическая функция общего вида порядка так что решение (26а) запишется следующим образом:

Каждую цилиндрическую функцию можно выразить в виде линейной комбинации двух цилиндрических функций обычного типа, например функций Бесселя и функций Неймана Для нашей цели удобно применить функции

Функции регулярны в каждой конечной области плоскости включая начало координат; функции имеют особенности в начале координат где они обращаются в бесконечность. Поэтому для представления волны внутри сферы нужно использовать функции а не

Общее решение уравнения (26а) можно записать в виде

В частности, для мы получим

где

Здесь — одна из функций Ханкеля. Функции Ханкеля отличаются от других цилиндрических функций тем, что в комплексной плоскости они равны нулю на бесконечности. Для функции с индексом 1 это справедливо в полуплоскости с положительным значением мнимой части Таким образом, именно такая функция оказывается подходящей для представления рассеянной волны.

Согласно (25) частное решение Пполучается при перемножении функций, определяемых выражениями (28), (32) и (37). Общее решение нашего

волнового уравнения равно

где — произвольные постоянные.

Эти постоянные необходимо выбрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям. Для этого нужно выразить потенциалы падающей волны в виде рядов, аналогичных ряду (40). Запишем вначале выражение (4) для падающей волны в сферических координатах в соответствии с (8):

Для определения потенциалов или необходимо лишь воспользоваться одним из уравнений (23). Первое из них дает

Первый множитель в левой части этого уравнения можно выразить в виде следующего ряда полиномов Лежандра (формула Бауэра, см. (9.4.9)):

Выполняются также тождества

Используя эти соотношения, можно переписать левую часть (42) в виде

Выберем в качестве пробного решения уравнения (42) ряд такого же вида

Подставляя (46) и (47) в уравнение (42) и сравнивая коэффициенты, получим соотношение

Из (37) (при ) следует, что

является решением уравнения (26а):

при условии, что . Сравнивая (50) с (48), мы видим, что

Вычисления, связанные с магнитным потенциалом аналогичны Таким образом, мы получим следующие выражения для потенциалов падающей волны:

Мы выразили оба потенциала в виде рядов, аналогичных ряду (40), и теперь легко определить неизвестные постоянные.

Запишем граничные условия (24) полностью

Из соотношений (52) следует, что эти уравнения могут удовлетворяться лишь в том случае, если ряды, аналогичные ряду (40), для неизвестных потенциалов содержат только члены с и если, кроме того, для магнитного потенциала

а для электрического

Мы уже отмечали, что для представления пригодны лишь функции поскольку они остаются конечными в начале координат, тогда как функции обращаются там в бесконечность. Следовательно, можно написать

Мы видели также, что рассеянную волну можно выразить с помощью функций которые получаются при умножении функции Ханкеля на (см. (39)). При больших значениях функция ведет себя как т. е. как и как . Таким образом, на больших расстояниях от сферы рассеянная волна сферична с центром в начале координат Поэтому положим

Если подставить выражения (52), (54) и (55) в граничные условия (53), мы получим следующие линейные соотношения между коэффициентами

Нас интересуют только коэффициенты которые характеризуют рассеянную волну. Исключая получим

Наконец, при подстановке (55) в (23) найдем для компонент векторов поля рассеянной волны

Этим завершается формальное решение нашей граничной задачи. Мы не будем здесь заниматься вопросами существования и сходимости полученного решения.

Полезно напомнить значение различных постоянных. Так как, по предположению, сферу окружает непроводящая среда, то . Из соотношений (2) следует

здесь длина волны света в вакууме, — длина волны в среде, окружающей сферу, и проводимость сферы обозначена через а.

Удобно также ввести комплексный показатель преломления сферы относительно окружающей среды, который понадобится нам в дальнейшем. Обозначая этот показатель через получим

Введем, кроме того, безразмерный параметр определяемый выражением

т. е. величина равна произведению на отношение радиуса сферы к длине волны света во внешней среде. Тогда, используя соотношение

можно выразить коэффициенты (57) в виде

формулы принимают особенно простую форму, когда либо диэлектрическая проницаемость, либо проводимость сферы высоки и вместе с тем радиус сферы не слишком мал. В этом случае и выражения (62) сводятся к

Хотя это приближение не представляет интереса в оптике, его важность для радиодиапазона несомненна. Оно имеет и исторический интерес, поскольку первые теории относились к такому предельному случаю [28].

в. Сводка формул, относящихся к присоединенным функциям Лежандра и цилиндрическим функциям. Прежде чем переходить к дальнейшему обсуждению, удобно привести здесь некоторые формулы, относящиеся к сферическим гармоникам и цилиндрическим функциям,

Присоединенные функции Лежандра

Полиномы Лежандра (в которых аргументом служит ) имеют вид

Присоединенные функции Лежандра первого рода определяются выражением

Нам понадобятся также соотношения

Для больших значений справедливо асимптотическое приближение

Цилиндрические функции

I. При малых значениях аргумента х функцию можно разложить в ряд

где

Для справедливо разложение

где степенные ряды, в которых первый член равен единице, а второй квадратичен относительно х. Аналогично функции можно выразить в виде

где — степенные ряды того же типа, что и прежде.

II. При больших значениях аргумента х и при условии, что I мало по сравнению с можно использовать следующие асимптотические формулы:

и

Для вещественных значений х функции тоже вещественны, т. е.