§ 5.2. Эйконал Шварншильда

При исследовании геометрических аберраций Шварцшильд использовал метод, сходный с методом, применяемым в небесной механике при расчетах элементов орбит. В таких расчетах вводятся переменные, остающиеся постоянными при невозыущенном движении, а небольшие их изменения при действительном движении определяются с помощью функции возмущения. По аналогии

с этим методом Шварцшильд в своих работах (ссылки на них уже приводились) ввел некоторые переменные, которые в приближении параксиальной оптики остаются постоянными вдоль каждого луча, проходящего через оптическую систему. Затем, введя некоторую функцию возмущения, названную им эйконалом Зайделя, он исследовал изменения этих переменных, возникающие при учете членов четвертого порядка в разложении характеристической функции. Эти переменные были названы Шварцшильдом переменными Зайделя, поскольку они связаны с теми величинами, которые ранее использовал Зайдель.

Функция аберраций Ф, определенная выше, тесно связана в приближении теории Зайделя с возмущенным эйконалом Шварцшильда; используя метод Шварцшильда, можно получить выражения для коэффициентов стертого порядка в разложении функции аберраций для произвольной центрированной системы. Это будет подробно проведено в § 5.5. Здесь мы определим переменные Зайделя и исследуем связь между нашей функцией аберраций и возмущенной функцией Шварцшильда.

Введем такие новые единицы длины в плоскостях предмета и параксиального изображения соответственно чтобы

где — поперечное гауссово увеличение. Точки на плоскости предмета будем определять координатами а на плоскости изображения координатами и для которых

где — обычные координаты точек. (см. рис. 5.1) и С — постоянная, которую мы определим позже. В приближении параксиальной оптики

Координаты точек пересечения луча, исходящего из с входным зрачком связаны с лучевыми компонентами следующими соотношениями:

Соотношения для точек пересечения луча с выходным зрачком имеют совершенно аналогичный вид. Квадратные корни в знаменателях можно в приближении параксиальной оптики заменить соответственно на в результате чего мы получим линейные соотношения между координатами вида

Теперь введем такие новые единицы длины I, и в плоскостях входного и выходного зрачков, чтобы

где поперечное увеличение входной зрачок выходной зрачок. Вместо

используем следующие переменные:

В приближении параксиальной оптики

Для упрощения дальнейших вычислений, удобно выбрать С в виде

Другое выражение для С, часто используемое при изучении изображений с помощью теории дифракции, имеет вид

Здесь — волновое число для света в вакууме, а — угловые апертуры системы, или углы, под которыми видны входной и выходной зрачки соответственно из осевых точек предмета и изображения. При таком значении С имеем

Равенство двух правых частей в выражении (7) следует из формулы Смита—Гельмгольца (1.4.48).

Величины, определенные соотношениями (2) и (6), являются переменными Зайделя. Нам потребуются и обратные соотношения, которые связывают старые переменные с переменными Зайделя. Решая (2) и (6), получим

Выразим теперь функцию аберраций через переменные Зайделя. Отметим сначала, что аргументы X и можно заменить в функции Ф на не изменяя членов в уравнениях (5.1.166) и (5.1.176). Обозначив функцию аберраций, выраженную через переменные Зайделя, через имеем

Тогда

и, учитывая (1), (2), (7) и (5.1.4),

С помощью уравнений (11) находим вместо (5.1.166) и (5.1.176) соотношения

Ранее указывалось, что в приближении теории Зайделя тесно связана с функцией возмущенны, введенной Шваршиильдом и названной им эйконалом Зайделя. Эта функция определяется соотношением

где — угловая характеристика, отнесенная к системам с

началами координат в . Рассмотрим теперь небольшие вариации координат. Согласно уравнению (4.1.27) и условию получим, что соответствующее изменение Т равно

или, выразив его через переменные Зайделя, —

Используя последнее соотношение, находим из (13), что при малых изменениях переменных изменение имеет вид

т. е. является функцией и поэтому получим строго

Следовательно, зная можно простым дифференцированием найти величины лучевых аберраций как в плоскости изображения, так и в плоскости выходного зрачка.

Сравнивая (17) и (12), видим, что в приближении теории Зайделя величина не зависит от и , т. е.

где — некоторая функция от Из определения следует, что следовательно, и

В области применимости теории Зайделя члены в (12), учитывающие погрешность, можно отбросить Однако если оставляются члены более высокого порядка чем четвертый, то соотношения для компонент лучевой аберрации, выраженные через функцию аберраций принимают более сложный вид. Вместе с тем простые соотношения (17), выражающие компоненты лучевой аберрации через возмущенный эйконал, оказываются точными; однако возмущенный эйконал, по-видимому, не имеет простого физического смысла.

Определение членов более высокого порядка чем четвертый сопряжено, за исключением простейших случаев, с очень трудоемкими математическими выкладками. Поэтому обычно алгебраический анализ проводится в рамках теории Зайделя, которая затем в случае необходимости уточняется с помощью метода построения хода лучей.