12.2.2. Пробное решение интегрального уравнения.

Так как все плоскости, перпендикулярные к оси физически эквивалентны, возьмем в качестве пробного решения нашего интегрального уравнения (3) выражение вида

где - целые числа (положительные, отрицательные и нуль). Уравнение (5), очевидно, описывает двойную бесконечную совокупность плоских волн. Такая форма возможного решения следует из существования многократных отражений и преломлений в бесконечной пластинке слоистого вещества с плоскими параллельными поверхностями. Вскоре мы увидим, что различные неизвестные определяются из условия, что (5) удовлетворяет интегральному уравнению (3).

Чтобы решить (3), необходимо вычислить интегралы, определяющие а именно

Здесь Если точка наблюдения находится вне рассеивающей среды, то объем V занимает всю среду Если же точка наблюдения находится внутри рассеивающей среды, интеграл берется по тому же объему, за исключением небольшой сферы радиуса а (который в конечном итоге стремится к нулю) вокруг точки наблюдения.

Полагая

можно переписать (6) (после сокращения на множитель в виде

причем теперь рассеивающая среда занимает объем Эти интегралы вычисляются в приложении 9; они равны следующим величинам.

а) Если находится в рассеивающей среде то

б) если находится за рассеивающей средой, то

в) если находится перед рассеивающей средой (т. е. с той же стороны, откуда падает свет), то

В этих выражениях

Если теперь подставить (5) в (3) и использовать соотношения (6) и (10а), то простым способом получим

где знак суммирования перед любым выражением должен интерпретироваться следующим образом:

Для того чтобы (12) удовлетворялось в любой моментвремени и в любой точке внутри рассеивающей среды, коэффициент при каждой экспоненте, отличающейся от всех остальных по любой из переменных должен независимо от истальных равняться нулю. Из (12) видно, что изменения происходят с шагом и всегда сопровождаются изменением на К. Однако коэффициенты при у в различных экспонентах остаются либо неизменными либо представляют собой одну и ту же функцию соответствующих Следовательно, можно принять, что зависит только от индекса Кроме того, поскольку можно допустить без потери общности, что равна частоте падающего света, то

Используя эти соотношения в (12) и перегруппировывая различные члены, получим

где — символ Кронекера (т. е. , если ), а определяются следующим образом:

Здесь использованытакже сокращения (см. (11))

Приравнивая нулю коэффициенты при каждой экспоненте в (14), можно получить следующею систему уравнений для допустимых значений и амплитуд для, всех I и