§ 2.1. Электродинамические потенциалы в вакууме
2.1.1. Векторные и скалярные потенциалы.
Рассмотрим электромагнитное поле в вакууме, обусловленное заданным распределением зарядов 
и токов 
. Оно удовлетворяет уравнениям Максвелла (1.1.1)-(1.1.4). В вакууме 
и эти уравнения можно переписать в виде
Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю, то уравнение (4) будет удовлетворяться, если положить
где А — произвольная векторная функция координат и времени. Если соотношение (5) подставить во второе уравнение Максвелла, мы получим
Уравнение (6) будет удовлетворяться, если
здесь 
— произвольная скалярная функция. Величины А и 
необходимо определить таким образом, чтобы удовлетворить оставшимся уравнениям Максвелла.
Подставляя (5) и (7) в (1) и (3) и используя тождества
получим
и
Если связать А и 
соотношением
то (8) и (9) перейдут в неоднородные волновые уравнения
и
Функции А и 
из которых посредством соотношений (5) и (7) можно определить В и Е, известны как магнитный векторный потенциал и электрический скалярный потенциал соответственно. Соотношение (10), связывающее оба потенциала, называется условием Лорентца. Заметим, что оно согласуется с уравнением непрерывности (1.1.5)
Легко показать, что выражения (11), (12) и (10) не определяют потенциалы однозначно. Действительно, если мы добавим к А вектор 
, где 
произвольно, то В не изменится, а если, кроме того, 
заменить на 
то Е также не изменится. Другими словами, В и Е инвариантны при преобразовании
Из (10) и (14) получим
Следовательно, А и 
будут удовлетворять соотношению Лорентца, если на 
наложить условие
Уравнения (14), подчиняющиеся условию 
выражают так называемое калибровочное преобразование. Калибровочное преобразование можно использовать для упрощения записи векторов поля. Например, в области с нулевой плотностью заряда 
величина 
удовлетворяет однородному волновому уравнению
тогда величину 
можно выбрать так, чтобы скалярный потенциал оказался равньм нулю. Согласно (146) и (16) для этого необходимо положить
Поле можно найти с помощью одного лишь векторного потенциала посредством соотношений (штрих над А опущен)
тогда как условие Лорентца переходит в
