8.3.2. Теория дифракции Кирхгофа.

Интегральная теорема Кирхгофа базируется на основной идее принципа Гюйгенса — Френеля. Однако законы, управляющие вкладами различных элементов поверхности, значительно сложнее, чем предполагал Френель. Тем не менее Кирхгоф показал, что во многих случаях эту теорему ыожпо свести к приближенной, но более простой форме, эквивалентной формулировке Френеля, и, кроме того, определить точный вид коэффициента наклона, который в теории Френеля остается неопределенным.

Рассмотрим монохроматическую волну, идущую от точечного источника сквозь отверстие в плоском непрозрачном экране. Пусть, как и раньше, Р — точка, в которой определяется световое возмещение. Допустим, что линейные размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны света, но малы по сравнению с расстояниями от и Р до экрана.

Для того чюбы найти возмущение в точке Р, рассмотрим интеграл Кирхгофа по поверхности образованной (рис. 8.3, а): 1) отверстием , 2) участком неосвещенной стороны экрана и 3) частью большой сферы с центром и радиусом которая вместе с образует замкнутую поверхность.

Рис. 8.3. К выводу дифракционной формулы Френеля — Кирхгофа.

Из теоремы Кирхгофа в форме (7) имеем

где, как и раньше, расстояние между элементом — обозначает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности интегрирования.

Здесь дело осложняется тем, что значения и на которые необходимо подставить в (14), никогда точно неизвестны. Однако разумно считать, что повсюду на , кроме мест, находящихся в непосредственной близости к краю отверстия, и мало отличаются от тех значений, которые они имели бы в отсутствие экрана, и что на эти величины близки к нулю. Тогда, согласно Кирхгофу, имеем

где

- величины, относящиеся к падающему полю (рис. 8.3, б), постоянная Приближения (15), называемые граничными условиями Кирхгофа, лежат в основе теории дифракции Кирхгофа

Остается еще учесть роль части сферической поверхности Теперь очевидно, что, беря радиус достаточно большим, можно получить значения и на сколь угодно малыми и, следовательно, можно пренебречь вкладом от Однако при неограниченном увеличении площадь также неограниченно увеличивается и условие при недостаточно для того, чтобы наш интеграл стремился к нулю. Таким образом, необходимы

более точные допущения относительно поведения волновой функции на большом расстоянии от экрана. Этот вопрос уже обсуждался на стр. 347 в связи с вопросом об однозначности решений задач, рассматривающих бесконечную среду. Для нашей же задачи достаточно сделать физически очевидное допущение, что радиационное поле не существовало всегда, а начало создаваться источником в некоторый определенный момент времени . (Это, конечно, означает отступление от строгой монохроматичности, так как идеально монохроматическое поле существует неограниченное время.) Тогда в любой момент времени поле заполняет некоторую часть пространства, внешняя граница которой находится от на расстоянии, не превышающем , где с — скорость света. Следовательно, если радиус выбирается столь большим, что в момент наблюдения в Р вклад в возмущение от отсутствует (так как в этот момент поле еще не достигло столь удаленных областей), то интеграл по равен нулю. Учитывая это и пренебрегая в производных по нормали членами малыми по сравнению с окончательно получим вместо (14)

Это выражение называется дифракционной формулой Френеля — Кирхгофа.

Рис. 8.4. К выводу дифракционной формулы (18).

Очевидно, что вместо А мы вправе выбрать любую другую незамкнутую поверхность, границы которой совпадают с краем отверстия. В частности, вместо А можно взять часть падающего волнового фронта, которая приблизительно заполняет отверстие, и часть конуса с вершиной в и с образующими, проходящими через края отверстия (рис. 8.4). При достаточно большом радиусе кривизны волнового фронта вкладом от очевидно, можно пренебречь, Кроме того, на имеем . Если еще положить то вместо (17) получим

где — радиус волнового фронта Этот результат находится в согласии с формулировкой принципа Гюйгенса Френелем, если вкладом от элемента волнового фронта считать

Сравнивая (18) с (8.2.1), найдем для коэффициента наклона, фигурирующего в теории Френеля, выражение

Для центральной зоны и (20) дает что согласуется с (8.2.14). Видно, однако, что Френель неправильно предполагал, будто

Возвращаясь снова к дифракционной формуле Френеля — Кирхгофа (17), отметим, что она симметрична относительно источника аточки наблюдения. Это

означает, что точечный источник, находящийся в производит в Р такое же действие, какое производил бы точечный источник равной интенсивности, помещенной в Р. Этот вывод иногда называют теоремой взаимности (или теоремой обратимости) Гельмгольца.

До сих пор мы предполагали, что свет на пути от источника до точки Р не встречает других поверхностей, кроме дифракционного экрана: в таком случае падающие волны сферические. Легко распространить этот анализ и на болсс сложные случая, когда форма волны не столь проста. И тогда мы опять получим, что выводы теории Кирхгофа по существу эквивалентны предсказаниям, сделанным на основе принципа Гюйгенса—Френеля, при условии, что в каждой точке волнового фронта радиусы его кривизны велики по сравнению с длиной волны света, а углы достаточно малы.

Из предыдущих рассуждений можно сразу же вывести заключение о распределении света, дифрагировавшего на дополнительных друг другу экранах, т. е. на экранах, у которых отверстия одного точно совпадают с непрозрачными частями другого и наоборот. Пусть и — комплексные возмущения, когда только один из экранов помещен на пути между источником и точкой наблюдения Р. Тогда, поскольку и можно представить в виде интегралов по отверстиям, а отверстия в дополнительных экранах располагаются так, что полностью «открывают» весь волновой фронт, то

Это так называемый принцип Бабине [11].

Из принципа Бабине можно вывести два заключения. Если то , т. е. в точках, где интенсивность при наличии одного экрана равна нулю, в присутствии лишь другого экрана она будет такой же, как и в отсутствие экранов. Далее, если то т. е. в точках, где равно пулю, фазы различаются на , а интенсивности одинаковы. Так, например, если точечный источник изображается хорошо коррегированным объективом, распределение света в плоскости изображений повсюду равно нулю, за исключением мест, находящихся в непосредственной близости от изображения О источника. Если дополнительные экраны поместить на пути между источником и изображением, то всюду, за исключением мест близ О.

Выводы из основного приближения (15) теории Кирхгофа подвергались многим критическим замечаниям, из которых следует, например, что решение Кирхгофа не дает исходных значений интенсивности в плоскости отверстия [12] (см. также [5] стр. 71, 72 и [13]).

Однако сравнительно недавно, Вольф и Марчанд [14] показали, что теорию Кирхгофа можно изложить полностью математически. В таком виде теория дает точное решение некоторых иных краевых задач, чем (15) и (16), и полностью применима к основным проблемам инструментальной оптики. Это объясняется главным образом тем, что длины волн оптического диапазона малы по сравнению с размерами препятствий, на которых происходит дифракция [17]

В других задачах, относящихся, например, к поведению поля в непосредственной близости к экранам и другим препятствиям, нужно применять более

тонкие методы. Такие задачи необходимо рассматривать как задачи электромагнитной теории с граничными условиями и считать источники особыми точками волновых функций. Решения подобных задач найдены только для очень небольшого числа случаев; некоторые из них будут рассмотрены в гл 11.