§ 10.2. Комплексное представление вещественных полихроматических полей

Изучая монохроматические волновые поля, мы установили, что полезно рассматривать каждую вещественную волновую функцию как вещественную часть соответствующей комплексной волновой функции. В настоящей главе мы займемся полихроматическими (т. е. немонохроматическими) палями. Здесь также полезно использовать комплексное представление, которое можио считать естественным обобщением представления, применявшегося для монохроматических полей.

Пусть — вещественное возмущение, например декартова компонента электрического вектора, в фиксированной точке пространства. Предположим, что квадратично интегрируемо. Его можно выразить в виде интеграла Фурье

Свяжем с комплексную функцию

Тогда имеем

где

Функции однозначно определяются функцией поскольку получается из при замене фазы каждой фурье-комноненты на Интегралы (1) и (4) называют сопряженными интегралами Фурье или сопряженными функциями. Можно показать что они получаются друг из друга с помощью преобразований Гильберта, е.

где Р — главное значение интеграла по Коши при

Таким комплексным представлением часто пользуются в теории связи, где V называют аналитическим сигналом связанным с . Он получил это название потому, что при удовлетворяющем определенным общим условиям непрерывности, функции рассматриваемая как функция комплексной переменной аналитична в нижней полуплоскости (см. [35]).

Для дальнейшего укажем переход от к V, когда представлено интегралом Фурье вида

Так как функция вещественна, то

Используя последнее соотношение, мы можем переписать (6) в форме (1) и после сравнения получим

Интеграл (2), выраженный через запишется в виде

Следовательно, можно вывести из представляя как интеграл Фурье в виде (6), пренебрегай амплитудами, связанными с отрицательными частотами, и удваивая амплитуды, связанные с положительными частотами. По этой причине функцию V называют также связанной с комплексной функцией, спектр Фурье которой не содержит отрицательных частот. Очевидно также, что если спектр Фурье комплексной функции V не содержит амплитуд, связанных с отрицательными частотами, то вещественная и мнимая части V являются сопряженными функциями. Отметим следующие соотношения, которые вытекают из (6), (7) и (9) на основании теоремы Парсеваля b соотношения (3):

В большинстве рассматриваемых нами приложений спектральные амплитуды заметно отличаются от нуля лишь в частотном интервале шириной малом по сравнению со средней частотой . В этом случае аналитический сигнал допускает простую интерпретацию. Запишем V в виде

где вещественны. Согласно (9) и (11)

где

По предположению, спектральные амплитуды заметно отличаются от нуля только вблизи и поэтому будет заметной величиной ли около Следовательно, интеграл (12) представляет собой суперпозицию гармоник низких частот, а так как то будут медленно меняющимися (по сравнению с функциями Выразим вещественную и мнимую части V — через А и Ф:

В этих формулах выражены в виде модулированных сигналов несущей частоты Мы видим, что комплексный аналитический сигнал тесно связан с огибающей реального сигнала. Огибающая и соответствующий фазовый фактор выражаются через аналитический сигнал V следующим образом:

Таким образом, не зависит от точного выбора а зависимость представлена только аддитивным членом Конечно, мы могли бы выбрать в (14) вместо любую другую частоту не изменяя значения выражение для нового фазового множителя отличалось бы от выражения (15) лишь тем, что вместо стояло бы

При выводе (14) и (15) мы не пользовались тем, что сигнал узкополосный так что эти соотношения являются общими. Однако понятие огибающей полезно лишь при условии

Мы предполагали, что «возмущение» определяется для всех значений . Практически же возмущение существует лишь в течение конечного интервала времени - , по, как правило, он значительно превышает интервал, имеющий в данном случае физический смысл масштаба времени (средний период и время когерентности поэтому можно считать, что Такая идеализация желательна с математической точки зрения из-за предположения о стационарности поля (см. п. 10.3.1). Очевидно, в этом случае необходимо также предположить, что средняя по времени интенсивность (пропорциональная стремится к конечному значению, когда интервал времени, по которому производится усреднение, неограниченно увеличивается, т. е. что

конечен. Если этот предел конечен и не равен нулю, то ясно, что интеграл расходится. Тем не менее и здесь можно воспользоваться аппаратом анализа Фурье. Определим «обрезанные» функции следующим образом:

Так как каждую такую обрезанную функцию мы вправе считать интегрируемой С квадратом, ее можно выразить через интеграл Фурье, например в виде

Пусть сопряженная функция, а — ассоциированный аналитический сигнал, т. е.

При этом соотношения (10) будут выполняться, если заменить на и т. д. Следовательно, разделив каждое выражение на получим

где

Казалось бы естественным перейти теперь к пределу . К сожалению, во многих случаях, представляющих практический интерес, функция известная как периодограмма, не стремится к пределу, а флуктуирует с увеличением Т (см., например, [44]; см. также [45]). Однако эту трудность можно преодолеть соответствующей процедурой «сглаживания». Например, будем считать, как принято в теории случайных процессов, что функция является произвольным членом ансамбля функций, характеризующего статистические особенности процесса Тогда при соответствующих предположениях о природе ансамбля (стационарный он или эргодический) можно показать, что флуктуации среднего значения взятого по ансамблю функций стремятся к пулю при . Таким образом, обозначив среднее по ансамблю чертой, получим для предела «спажснной периодограммы»

выражение

Если означает усреднение по времени, т. е.

то в предельном случае получим следующие соотношения, аналогичные (19):

В теории стационарных случайных процессов функция определяемая соотношением (22), называется спектром мощности случайного процесса, характеризующегося ансамблем функций . Поскольку в наших рассуждениях представляет световое возмущение, величина пропорциональна вкладу в интенсивность, обусловленному частотами в интервале . Мы будем называть спектральной плотностью световых колебаний.

Так как вещественная часть во всех расчетах, в которых производятся линейные операции над можно пользоваться величиной и выделять вещественную часть только в конечном результате. Более того, так же как ивслучае монохроматических полей, соотношение позволяет выразить среднее но времени значение квадрата вещественного возмущения непосредственно через комплексное возмущение, которое мы связали с вещественным.