3.2.2. Законы преломления и отражения.

До сих пор предполагалось, что показатель преломления — непрерывная функция. Рассмотрим теперь поведение лучей, пересекающих поверхность, разделяющую две однородные среды с различными показателями преломления. Зоммерфельд и Рунге показали, что его легко установить с помощью рассуждений, сходных с рассуждениями, которые проводились при выводе граничных условий для векторов полей на поверхности раздела (см. п. 1.1.3).

Рис. 3.6. Искривление луча в неоднородной среде.

Рис. 3.7. К выводу законов преломления и отражения.

Учитывая тождество находим, что в соответствии с (1) вектор называемый иногда лучевым вектором, удовлетворяет соотношению

Как и в п. 1.1.3, заменим поверхность раздела Т переходным слоем, в котором величины меняются быстро, но непрерывно от своих значений около Т с одной стороны поверхности до значений около Т с другой ее стороны Далее рассмотрим плоский элемент поверхности, стороны которого параллельны, а перпендикулярны к Т (рис. 3.7). Если обозначить через единичный вектор нормали к этому элементу, то, интегрируя (15) по площади элемента и используя теорему Стокса, получим

где второй интеграл берется по ограничивающему элемент контуру Переходя к пределу, когда высота совершенно таким же способом, как и при выводе (1.1.23), найдем

где — единичный вектор нормали к поверхности раздела, направленный из первой среды во вторую. Из (17) следует, что тангенциальная составляющая лучевого вектора непрерывна при переходе через поверхность раздела, или, что то же самое, вектор перпендикулярен к этой поверхности.

Пусть углы, которые образуют падающий и преломленный лучи с нормалью к поверхности (рис. 3.8, а). Тогда, согласно (17), имеем

или

Смысл формулы (18) состоит в том, что преломленный луч лежит в плоскости, образованной падающим лучом и нормалью к поверхности раздела (плоскости падения), а формулы (19) — в том, что отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно отношению показателей преломления Эти два

результата выражают закон преломления (закон Снелиуса). Он был выведен нами ргшее в § 1.5 для частного случая плоских волн. Однако если прежний вывод справедлив для случая падения плоской волны с произвольным значением на плоскую отражающую поверхность, настоящий относится к волнам и отражающим поверхностям более общей формы при условии, что длина волны достаточно мала Последнее условие практически означает, что радиусы кривизны волнового фронта падающей волны и поверхности раздела должны быть велики по сравнению с длиной волны падающего света.

Как и в случае, рассмотренном в § 1.5, следует ожидать, что и здесь появится другая отраженная волна, возвращающаяся обратно в первую среду.

Рис. 3.8. К выводу законов преломления (а) и отражения (б).

Полагая в (18) и (19) (см. рис. 3.8, б), получим, что отраженный луч лежит в плоскости падения, , следовательно,

Последние два результата выражают закон отражения.