§ 2.2. Поляризация и намагничение
2.2.1. Выражение потенциалов через поляризацию и намагничение.
В гл. 1 мы привлекали к изучению поля материальные уравнения
Они означают, что поля Е и Н в каждой точке среды вызывают некие смещения
и В, пропорциональные Е и Н. Вместо того чтобы описывать взаимодействие поля и среды посредством таких «мультипликативных соотношений», мы будем описывать его с помощью «аддитивных соотношений»
величина Р называется электрической поляризацией,
магнитной поляризацией или намагничением. Физический смысл этих величин выяснится позже; здесь мы заметим только, что и Р и М равны нулю в вакууме, и поэтому они отражают влияние среды на поле простым, интуитивно понятным способом.
Предположим, что среда является непроводящей
и рассмотрим поле в области, где плотности тока и заряда равны нулю
. Исключая
и Н из уравнений Максвелла (1.1.1)-(1.1.4) посредством (1) и (2), получим
где плотность свободного тока
и плотность свободного заряда
определяются соотношениями
Уравнения (3)-(6) формально идентичны уравнениям для поля в вакууме, рассмотренным в предыдущем разделе. Следовательно, как и в случае вакуума, мы можем ввести такие векторный потенциал А и скалярный потенциал
то
Кроме того, если наложить, как и ранее, условие Лорентца
то по аналогии с (2.1.11) и (2.1.12) мы получим следующие уравнения для
:
Условие (11) согласуется с (12) и (13), если
Это соотношение удовлетворяется тождественно, что легко получить из (7) и (8), использовав векторное тождество
Согласно (2.1.21) и (2.1.22), а также (7) и (8) решения уравнений (12) и (13) можно выразить через поляризацию и намагничение в виде
Здесь дифференциальные операторы
берутся для координат
точки интегрирования
в элементе объема
, а квадратные скобки означают запаздывающие значения, т. е. внутри каждой скобки аргумент заменяется на
Прямой расчет позволяет получить следующие тождества:
Следовательно, (15) и (16) можно записать в виде
Из первого члена каждого интеграла можно выделить интеграл по граничной поверхности. Для этого воспользуемся векторными тождествами
Интегрируя приведенные соотношения до произвольной конечной области
и используя теорему Гаусса, получим
Интегралы слева берутся по поверхности, ограничивающей эту область, n — единичный вектор внешней нормали к поверхности.
Предположим, что вещество (т. е. область пространства, где Р и М отличны от нуля) находится внутри конечной замкнутой поверхности. Если интегралы (19) и (20) берутся по объему, заключенному внутри этой поверхности, то поверхностные интегралы в (22) равны нулю, а (19) и (20) можно записать в виде
Последние выражения позволяют понять физический смысл величин Р и М. В самом деле, рассмотрим случай, когда Р и М равны нулю всюду, кроме исчезающе малого элемента объема вблизи точки
. Формально это можно записать с помощью дельта-функции Дирака (см. приложение 4) в виде
Тогда (23) и (24) перейдут в
где
означает, что оператор берется относительно координат
точки
Рис. 2.1. К расчету потенциалов электрического диполя.
Уравнения (27) и (28) допускают простую интерпретацию. Рассмотрим электростатический потенциал двух фиксированных электрических зарядов
расположенных в точках, радиусы-векторы которых относительно фиксированной точки
равны —
соответственно. Кулоновский потенциал
связанный с этими зарядами, равен (рис. 2.1)
Если а достаточно мало, можно разложить
по степеням компонент а; имеем
где операция
берется по координатам точки, в которой расположен заряд
. Пренебрегая в (31) членами более высоких порядков, получим вместо соотношения (30)
Пусть а постепенно уменьшается, а
неограниченно увеличивается таким
образом, что
стремится к конечному значению
т. е.
Тогда
приближается к
и в пределе (32) примет вид
В частном случае, когда
не зависит от времени, это выражение идентично (27).
Если заряды зависят от времени, но в каждый данный момент различаются лишь знаком, то вместо (30) получим
Снова переходя к пределу, найдем
что совпадает с (27). Итак, (23) можно интерпретировать как скалярный потенциал распределения электрических диполеи с моментом Р в единице объема. Легко показать, что последний член в (28) является магнитным потенциалом, создаваемым этими диполями.
Аналогично можно показать, что (28) является векторным потенциалом магнитного диполя с моментом
причем такой диполь, конечно, эквивалентен бесконечно малому замкнутому котуру с площадью А, нормальному к
и несущему ток, равный
. Следовательно, два первых члена в (24) можно интерпретировать
векторный потенциал распределения магнитных диполей с моментом М в единице объема.