§ 2.2. Поляризация и намагничение

2.2.1. Выражение потенциалов через поляризацию и намагничение.

В гл. 1 мы привлекали к изучению поля материальные уравнения Они означают, что поля Е и Н в каждой точке среды вызывают некие смещения и В, пропорциональные Е и Н. Вместо того чтобы описывать взаимодействие поля и среды посредством таких «мультипликативных соотношений», мы будем описывать его с помощью «аддитивных соотношений»

величина Р называется электрической поляризацией, магнитной поляризацией или намагничением. Физический смысл этих величин выяснится позже; здесь мы заметим только, что и Р и М равны нулю в вакууме, и поэтому они отражают влияние среды на поле простым, интуитивно понятным способом.

Предположим, что среда является непроводящей и рассмотрим поле в области, где плотности тока и заряда равны нулю . Исключая и Н из уравнений Максвелла (1.1.1)-(1.1.4) посредством (1) и (2), получим

где плотность свободного тока и плотность свободного заряда определяются соотношениями

Уравнения (3)-(6) формально идентичны уравнениям для поля в вакууме, рассмотренным в предыдущем разделе. Следовательно, как и в случае вакуума, мы можем ввести такие векторный потенциал А и скалярный потенциал то

Кроме того, если наложить, как и ранее, условие Лорентца

то по аналогии с (2.1.11) и (2.1.12) мы получим следующие уравнения для :

Условие (11) согласуется с (12) и (13), если

Это соотношение удовлетворяется тождественно, что легко получить из (7) и (8), использовав векторное тождество

Согласно (2.1.21) и (2.1.22), а также (7) и (8) решения уравнений (12) и (13) можно выразить через поляризацию и намагничение в виде

Здесь дифференциальные операторы берутся для координат точки интегрирования в элементе объема , а квадратные скобки означают запаздывающие значения, т. е. внутри каждой скобки аргумент заменяется на

Прямой расчет позволяет получить следующие тождества:

Следовательно, (15) и (16) можно записать в виде

Из первого члена каждого интеграла можно выделить интеграл по граничной поверхности. Для этого воспользуемся векторными тождествами

Интегрируя приведенные соотношения до произвольной конечной области

и используя теорему Гаусса, получим

Интегралы слева берутся по поверхности, ограничивающей эту область, n — единичный вектор внешней нормали к поверхности.

Предположим, что вещество (т. е. область пространства, где Р и М отличны от нуля) находится внутри конечной замкнутой поверхности. Если интегралы (19) и (20) берутся по объему, заключенному внутри этой поверхности, то поверхностные интегралы в (22) равны нулю, а (19) и (20) можно записать в виде

Последние выражения позволяют понять физический смысл величин Р и М. В самом деле, рассмотрим случай, когда Р и М равны нулю всюду, кроме исчезающе малого элемента объема вблизи точки . Формально это можно записать с помощью дельта-функции Дирака (см. приложение 4) в виде

Тогда (23) и (24) перейдут в

где

означает, что оператор берется относительно координат точки

Рис. 2.1. К расчету потенциалов электрического диполя.

Уравнения (27) и (28) допускают простую интерпретацию. Рассмотрим электростатический потенциал двух фиксированных электрических зарядов расположенных в точках, радиусы-векторы которых относительно фиксированной точки равны — соответственно. Кулоновский потенциал связанный с этими зарядами, равен (рис. 2.1)

Если а достаточно мало, можно разложить по степеням компонент а; имеем

где операция берется по координатам точки, в которой расположен заряд . Пренебрегая в (31) членами более высоких порядков, получим вместо соотношения (30)

Пусть а постепенно уменьшается, а неограниченно увеличивается таким

образом, что стремится к конечному значению т. е.

Тогда приближается к и в пределе (32) примет вид

В частном случае, когда не зависит от времени, это выражение идентично (27).

Если заряды зависят от времени, но в каждый данный момент различаются лишь знаком, то вместо (30) получим

Снова переходя к пределу, найдем

что совпадает с (27). Итак, (23) можно интерпретировать как скалярный потенциал распределения электрических диполеи с моментом Р в единице объема. Легко показать, что последний член в (28) является магнитным потенциалом, создаваемым этими диполями.

Аналогично можно показать, что (28) является векторным потенциалом магнитного диполя с моментом причем такой диполь, конечно, эквивалентен бесконечно малому замкнутому котуру с площадью А, нормальному к и несущему ток, равный . Следовательно, два первых члена в (24) можно интерпретировать векторный потенциал распределения магнитных диполей с моментом М в единице объема.