10.5.3. Получение изображения при частично когерентном квазимонохроматическом освещении

а. Распространение взаимной интенсивности через оптическую систему. В § 9.5 было описано несколько общих методов изучения отображения протяженных объектов. Рассматривались случаи полностью когерентного (п. 9.5.1) и полностью некогерентного (п. 9.5.2) освещения. В первом случае рассматривалось распространение через систему комплексной амплитуды, во втором — интенсивности. Сейчас мы исследуем более общий случай частично когерентного квазимонохроматпческого освещения. Изучаемой величиной здесь является взаимная интенсивность.

Как и в (9.5.1), используем нормализованные координаты Зайделя, так что точка предмета и ее параксиальное изображение имеют одинаковые численные значения координат. Пусть — взаимная интенсивность для точек в плоскости предмета. Если — функция пропускания системы (см. п. 9.5.1), то взаимная интенсивность в плоскости изображения, согласно закону распространения (10.4.47), определяется выражением

Интегрирование лишь формально производится по бесконечной области, так как для всех точек в плоскости предмета, от которых свет не попадает в плоскость изображений, величина равна нулю.

Как и в § 9.5, мы предположим, что предмет так мал, что служит изопланатической областью системы, т. е. что для всех его точек величину с хорошей точностью можно заменить функцией, зависящей лишь от разностей (скажем, ). Уравнение (31а) тогда примет вид

Представим и произведение в форме четырехмерных интегралов Фурье, а именно

Тогда на основании обратного преобразования Фурье находим

Совершенно аналогичные соотношения можно написать для .

Применяя теорему свертывания к (316), получим соотношение

Отсюда следует, что если взаимную интенсивность в плоскостях предмета и изображения представить суперпозицией четырехмерных пространственных гармоник всевозможных пространственных частот то каждая такая компонента взаимной интенсивности в изображении будет зависеть лишь от ее соответствующей компоненты в предмете, а их отношение окажется равным . Таким образом, в пределах применимости настоящего приближения влияние оптической системы на взаимную интенсивность эквивалентно действию четырехмерного линейного фильтра. Функция называется функцией частотного отклика для частично когерентного кваэимонохроматического освещения.

Функция частотного отклика связана с функцией зрачка системы простым еоотношением. Если, как и в (9.5.10 в), мы представим в виде двумерного интеграла Фурье

в подставим его в соотношение, обратное преобразованию (32в), то найдем, что

Согласно (9.5.13) величина равна значению функции зрачка системы в точке

на опорной сфере Гаусса (радиуса Следовательно, для частично когерентного кваэимонохроматического освацения функция частотного отклика связана с функцией зрачка системы формулой

Так как для точек, находящихся вне выходного зрачка, функция зрачка равна нулю, то система не пропустит спектральные компоненты, соответствующие частотам, превышающим определенные значения. Если выходной зрачок имеет форму круга радиуса а, то величина равна нулю при или Следовательно, не будут пропускаться спектральные компоненты взаимной интенсивности, соответствующие частотам для которых

Здесь — средняя длина волны в пространстве изображения.

В табл. 10.1 приведены основные формулы, относящиеся к отображению при частично когерентном освещении, а также соответствующие формулы из § 9.5 для когерентного и некогерентного освещений. Выражения, относящиеся к некогерентному освещению, можно получить из общих формул (34), (36) и (38), предполагая, что имеет вид где — дельта-функция Дирака (см. приложение 4). Мы не будем приводить здесь этот вывод, поскольку он, хотя и достаточно прост, но довольно громоздок.

Таблица 10.1 (см. скан) Отклик оптической системы на пространственные частоты. (Предполагается, что предмет служит изопланатической областью системы.)

Формулы для специального случая идеально монохроматического (и, следовательно, полностью когерентного) освещения можно вывести несколько проще, так как в этом случае имеем для взаимной интенсивности . Величина являющаяся Фурье-образом также приобретает вид произведения двух множителей. Применяя далее выражения (34) и (36), легко показать, что каждая спектральная компонента комплексного возмущения распространяется через систему в соответствии с формулами, приведенными в первом ряду табл. 10.1.

б. Изображения объектов, освещаемых проходящим светом. Предположим, что часть плоскости предмета занята прозрачным или полупрозрачным объектом, который освещается частично когерентным квазимонохроматическим светом. Будем считать, что этот свет испускается первичным источником и достигает плоскости предмета, проходя через некоторую осветительную систему (конденсор).

Как и в введем для объекта соответствующую функцию пропускания Если через обозначить возмущение в точке плоскости предмета, обусловленное возмущением в точке ассоциированного монохроматического источника (см. стр. 471), то после прохождения через предмет возмущение, создаваемое этой точкой источника, определяется

соотношением

Взаимная интенсивность света, падающего на предмет, согласно (10.4.35а), запишется в виде

а взаимная интенсивность света, выходящего из предмета, в виде

следовательно, в соответствии с (40) имеем

Мы ограничимся важным случаем зависимости взаимной интенсивности падающего свеаа лишь от разностей координат т. е. случаем, когда имеет вид

В п. 10.5.2 было показано, что это справедливо как для критического освещения, так и для освещения по Келеру. По-прежнему будем считать предмет настолько малым, что он служит изопланатической областью системы. Тогда из (316) следует, что интенсивность в плоскости изображения определяется выражением

Представим и в форме двумерных интегралов Фурье

Если мы подставим и из (45a) в (44), используем тождество аналогичное тождество для и у и введем новые переменные интегрирования , то получим следующее выражение для

где

При переходе от четырехкратного интеграла к шестикратному мы подставили для выражение из (456), а при переходе от шестикратного к двукратному использовали преобразование, обратное (35).

Как мы видим, в (46) влияние предмета (характеризуемого функцией и комбинированное влияние освещения и оптической системы разделены. При равномерном освещении интенсивность света, выходящего из объекта, пропорциональна и в случае совершенного отображения интенсивность в плоскости изображения выражается (с точностью до постоянного множителя) формулой

В соотношениях (46) и (48) истинная интенсивность и идеальная интенсивность выражены в виде суммы вкладов, вносимых всеми парами частот пространственного спектра объекта. В первом случае каждый вклад в раз больше, чем во втором. Отсюда следует, что если не постоянно для всех значений для которых обе спектральные компоненты отличны от нуля, то некоторая информация об объекте будет теряться или искажаться. Функция - называется взаимным коэффициентом пропускания системы, работающей при данном освещении проходящим светом.

Рассмотрим теперь вместо самой интенсивности ее пространственный спектр Для получения соответствующего выражения умножим обе части (46) на и проинтегрируем по Используя интегральную теорему Фурье (или, короче, представление дельта-функции Дирака в виде интеграла Фурье (см. приложение 4)), найдем

Для идеального случая, которому соответствует выражение (48), получим

В этих формулах и выражены в виде сумм вкладов от каждой пространственной гармоники структуры объекта. Как мы видим, играет ту же роль, что и прежде. Эта величина характеризует изменения, возникающие в каждом вкладе и связанные со способом освещения объекта и характеристиками пропускания системы, формирующей изображение.

Так как функция отклика равна пулю, когда точка лежит вне выходного зрачка, то из (47) следует, что для достаточно высоких частот обращается в нуль. Если выходным зрачком служит круг радиуса а, то произведение , следовательно, величина могут отличаться от нуля только при условии, что в плоскости отлична от нуля область наложения кругов с центрами в точках и одинаковыми радиусами (рис. 10.15). Чтобы проиллюстрировать влияние освещения, предположим, что применяется критическое освещение или освещение по Кёлеру и что числовая апертура конденсорной системы в раз превышает числовую апертуру системы, отображающей объект. Тогда, согласно или (30), взаимная интенсивность освещающего пучка равна

где

а — интенсивность падающего света (она считается постоянной). В правой части выражения (51) стоит (см. п. 8.5.2) фурье-образ функции

На рис. 10.15 круг, вне которого обращается в нуль, обозначен через С. Ясно, что для данных вклад в интеграл (47) для вносят лишь те точки плоскости которые лежат внутри области перекрытия кругов (на рис. 10.15 она заштрихована).