§ 11.7. Дифракция волн, испускаемых локализованным источником, на полуплоскости

11.7.1. Линейный ток, параллельный дифракционному краю.

Рассмотрим линейный источник, находящийся в точке Т с координатами где и излучающий в вакууме - поляризованную цилиндрическую волну вида

Здесь — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, а расстояние, измеряемое от Т (рис. 11.16).

Фактически источник представляет собой электрический ток, протекающий через Т параллельно оси и осциллирующий везде с одинаковой фазой. Хорошо известно, что (1) является основным решением двумерного волнового уравнения, определяющим расходящуюся волну, зависящую только от радиального расстояния.

Записывая (1) в виде углового спектра плоских волн, мы в сущности используем интегральное представление функции Ханкеля (см., например, [27]).

предложенное Зоммерфельдом. Так как мы требуем, чтобы каждая плоская волна спектра достигала экрана, то следует рассматривать это представление в полупространстве , т. е.

Здесь выбран специальный путь интегрирования так как (помимо того, что он справедлив для всех точек он параллелен пути наибыстрейшего спуска, что удобно в последующем исследовании Фазовый множитель появляется в подынтегральном выражении (2) потому, что все плоские волны спектра должны иметь пулевую фазу в Т

Рис. 11.16 Взаимное расположение линейного источника Т и дифракционного экрана, занимающего полуплоскость.

Таким образом, очевидно, что решение дифракционной задачи для падающего поля (1) получается из решения для падающего поля умножением на множитель

и интегрированием по а по пути

Теперь, как уже было показано в § 11.5, решение для падающего поля можно записать в виде

(индекс указывает на то, что падающая волна плоская), где дается выражением (11.5.33), а (см. (11.5.19))

Преимущество такого представления (вместо представления в виде интегралов Френеля) состоит в том, что, как мы скоро увидим, здесь отчетливо проявляется симметрия относительно а и Решение для падающего поля (1), таким образом, имеет вид

Для того чтобы отделить здесь члены геометрической оптики от дифракционных членов, путь интегрирования по а во втором интеграле следует изменить на . При таком изменении пути нужно учесть полюсы величины рассматриваемой как функция а; согласно (5) они существуют при для всех на Легко показать, что вклад вычетов,

комбинируясь с первым членом в (6), даст члены геометрической оптики, т. е.

у уяехр при

где расстояние, измеренное от изображения Т в плоскости (см. рис. 11.16). Дифракционный член можно записать в виде

Его удобно представить следующим образом:

где

Окончательное преобразование должно свести к однократному интегралу. Умножая числитель и знаменатель подынтегрального выражения (10) на и отбрасывая часть, являющуюся нечетной функцией имеем

Заменим а во втором члене подынтегрального выражения (II) на — а и объединим два члена. Это дает

где

Произведя в (12) подстановки, применяемые в методе наибыстрейшего спуска

и написав получим

Далее введем полярные координаты

Тогда

где

можно вычислить обычным способом, полагая когда путь интегрирования становится окружностью единичного радиуса и необходимо только найти вычеты окруженных полюсов. Таким образом, получим

7 где ветвь квадратного корня лежит (для вещественных значений в четвертом квадранте комплексной плоскости. Следовательно, (10) принимает вид

Верхний знак оерется для нижний — для Окончательно подстановка

приводит к искомому результату, а именно

где верхний знак берется для нижний — для Так как падающее поле (1) можно записать в виде

член геометрической оптики (7), комбинируясь с дифракционным членом

(19), даст для полного поля соотношение

где

Это решение в виде (20) впервые дано Макдональдом [281, получившим его с помощью преобразования предыдущего решения, предложенного Карслоу [2]. Оно очень близко к решению, найденному Зоммерфельдом для падающей плоской волны, с которым оно совпадает, если после умножения на положить, что Решение для -поляризации отличается от предыдущего только тем, что в уравнении (20) два члена складываются, а не вычитаются.

Если то в неэкспоненциальном множителе подынтегрального выражения можно заменить величиной его нижнего предела, после чего мы получим приближенный результат

Таким образом, используя соответствующее приближение для можно представить поле дифракции в виде интегралов Френеля. Однако точность такого приближения недостаточна, если как источник, так и точка наблюдения находятся в пределах длины волпы от дифракционного края.

Далее, если то можно воспользоваться асимптотическим приближением (11.5.31) для (22), и мы получим

аналогично, если то

Поэтому для всех точек, лежащих вне двух гипербол с осями и соответственно, поле дифракции совпадает с полем некоторого линейного источника, находящегося у дифракционного края. Эти гиперболы эквивалентны параболам для случая падающей цилиндрической волны, которые рассматривались в в связи с решением для падающей плоской волны.

Наконец, следует обратить внимание на то обстоятельство, что решение (20) «обратимо» в том смысле, что оно не изменяется при взаимной замене переменных Это, конечно, частный случай общей теоремы взаимности [19], неявно содержащейся в уравнениях Максвелла. Проведенный

анализ показывает, что в настоящем случае это связано с тем, что спектральная функция (11.5.7) симметрична относительно