14.2.3. Геометрические построения для определения скоростей распространения и направлений колебаний.

Многие результаты, относящиеся к фазовой и лучевой скоростями к направлениям колебаний, можно проиллюстрировать с помощью некоторых геометрических построений.

а. Эллипсоид волновых нормалей. Согласно уравнениям (14.1.13) компоненты вектора при заданной плотности энергии удовлетворяют соотношению

Заменим на и будем рассматривать последние как декартовы координаты в пространстве. Тогда

Это уравнение описывает эллипсоид, полуоси которого равны квадратному корню из главных диэлектрических проницаемостей и совпадают по направлению с главными диэлектрическими осями. Мы назовем такой эллипсоид эллипсоидом волновых нормалей, употребив это название вместо широко используемого, но довольно неопределенного термина «оптическая индикатриса» (он известен также как эллипсоид индексов).

Если воспользоваться эллипсоидом нормалей, то обе фазовые скорости и оба направления колебаний соответствующие данному направлению волновой нормали можно найти следующим образом. Через начало координат проведем плоскость, перпендикулярную к Сечение эллипсоида нормалей такой плоскостью представляет собой эллипс, направление главных осей которого указывает направление колебаний вектора , а длины полуосей обратно пропорциональны соответствующим фазовым скоростям (рис. 14.2).

Рис. 14.2 Эллипсоид волновых нормалин Построение направлении колебаний векторов принадлежащих волновой нормали

Для получения этого результата рассмотрим два уравнения, которые определяют наш эллипс:

Так как по определению главные оси эллипса служат его наименьшим и наибольшим диаметрами, мы можем определить их, находя экстремумы величины

с дополнительными условиями (42) и (43). Это мы сделаем методом неопределенных множителей Лагранжа. Введем два множителя 2 и и сконструируем функцию

Тогда наша задача сводится к определению экстремума функции без дополнительных условий. Необходимое условие экстремума функции состоит в равенстве нулю ее производных по т. е.

Умножая эти уравнения соответственно на и складывая, получим, учитывая (42) и

Теперь, умножая уравнения (46) на и складывая, найдем, снова учитывая (42),

Подстановка в и из (47) и (48) дает

и еще два аналогичных уравнения. Для заданного это три однородных уравнения относительно Они совместны только тогда, когда соответствующий детерминант обращается в нуль, что дает алгебраическое уравнение для . Легко, однако, заметить, что уравнения (49) отличаются от уравнений (18) лишь обозначениями. Если мы заменим х на на на (в согласии с (11)), то (49) примет вид

что вместе с двумя аналогичными уравнениями идентично (18),

Таким образом, мы иашли, что корни определительного уравнения для (оно, как мы видели, квадратично) пропорциональны длинам полуосей эллиптического сечения, перпендикулярного к Кроме того, два возможных направления вектора совпадают с направлениями этих осей. Так как оси эллипса взаимно перпендикулярны, то мы получили следующий важный результат направления колебаний двух векторов соответствующих заданному направлению распространения взаимно перпендикулярны Обозначим два направления которые соот ветствуют данному направлению волновой нормали через и таким образом, и образуют ортогональную тройку векторов.

Рис. 14.3 Построение для определения плоскостей колебании

В специальном случае совпадения направления распространения с одной из главных осей эллипсоида нормалей, например, с осью х, экстремумы равны, согласно нашемупостроеншо, длинам двух других полуосей, т.е. Но мы показали, что экстремумы равны также — . Следовательно, фазовые скорости волн, которые распространяются в направлении оси х, равны т. е. главным скоростям распространения введенным формально с помощью соотношений (22). Конечно, соответствующие результаты имеют место и для распространения в направлении двух других осей.

Рис. 14.4. Плоскость Е, показанная на рис. 14.3.

Существует и иной способ построения, с помощью которого можно определить направления колебаний. Известно, что у эллипсоида существуют два круговых сечения С, и проходящих через центр, и что нормали к ним компланарны с наибольшей и наименьшей главными осями эллипсоида. Направления называются оптическими осями и будут рассмотрены подробно в Так как С, и круговые сечения (и имеют одинаковые радиусы), то в направлениях существует единственная скорость распространения; при этом может иметь любое направление, перпендикулярное к Пусть Е — эллиптическое центральное сечение, перпендикулярное к произвольному единичному вектору нормали Плоскость этого сечения пересекает круги вдоль двух радиальных векторов которые равны но величине и поэтому должны образовывать равные углы с главными осями сечения Е (см. рис. 14.3 и 14.4). Таким образом, искомые направления колебаний являются биссектрисами углов между и Но перпендикулярен к и и поэтому перпендикулярен к плоскости, содержащей и аналогично перпендикулярен к плоскости, содержащей и Если эти плоскости пересекают плоскость эллипса Е вдоль векторов то главные эллипса также должны служить биссектрисами углов между Следовательно, плоскости колебаний вектора электрического смещения, т. е. плоскости, содержащие и или делят пополам внутренний или внешний угол между плоскостями Это построение становится неопределенным, если направление совпадает с направлением или

б. Лучевой эллипсоид. Лучи можно рассматривать таким же образом, как и волновые нормали, если в соответствии с правилом (28) исходить из лучевого эллипсоида

В частности, центральное сечение этого эллипсоида, перпендикулярное к направлению луча является эллипсом, направления главных осей которого указывают два допустимых направления электрического вектора а длины полуосей пропорциональны двум соответствующим лучевым скоростям Таким образом, образуют ортогональную тройку векторов.

в. Поверхность нормалей и лучевая поверхность. Представим себе, что некоторой точки О внутри кристалла, как из начала координат, в направлении откладываются два вектора, длины которых пропорциональны двум соответствующим значениям фазовой скорости. Поскольку вектор принимает все возможные направления, концы наших векторов опишут поверхность, состоящую из двух оболочек, называемую поверхностью волновых нормалей или, короче, поверхностью нормалей.

Рис. 14.5. Соотношение между поверхностью нормалей и лучевои поверхносгью

Аналогично концы векторов, отложенных из фиксированного начала координат во всех направлениях и имеющих длины, пропорциональные соответствующим лучевым скоростям, опишут двух оболочечную поверхность, называемую лучевой поверхностью Эти две поверхности сложнее рассмотренных нами выше поверхностей эллипсоидов Лучевая поверхность — это поверхность четвертого порядка, поверхность нормалей — поверхность шестого порядка, в чем можно убедиться, обратившись к формулам (24) и (29). Между этими двумя поверхностями существует важное соотношение, которое мы сейчас и получим.

Мы показали, что если Е и известны, то можно определить как направления и так и соответствующие скорости а следовательно, и соответствующие точки (Р и Р на рис 14.5) на обеих описанных выше поверхностях. Пусть — векторы, представляющие эти точки, т. е.

Покажем, что приращение вектора при небольшом изменении Е или перпендикулярно к

Начнем с уравнения (27)

Подставляя из первого уравнения (52) и полагая получим

Предположим, что Е изменяется на небольшую величину . Если — соответствующие изменения и , то в соответствии с (54) найдем

Если обе части этого равенства скалярно умножить на и воспользоваться соотношением

то мы получим

Члены, содержащие множитель сокращаются согласно (54), а член с можно переписать в виде Следовательно, учитывая, что имеем

Вектор перпендикулярен и к и к поэтому лежит в плоскости векторов и и перпендикулярен к Таким образом, вектор параллелен (см. § 14.1) и, следовательно,

перпендикулярен к что и доказывает наше утверждение. Отсюда следует, что плоскость, касательная к лучевой поверхности, всегда перпендикулярна соответствующей волновой нормали. Рис. 14.5 иллюстрирует это соотношение на плоском сечении. Так как кратчайшее расстояние от начала координат до этой плоскости равно, согласно (9), — и то, следовательно, поверхность нормалей представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на плоскости, касательные к лучевой поверхности, и, обратно, лучевая поверхность является огибающей плоскостей, проведенных через точки поверхности нормалей перпендикулярно радиусам-векторам этих точек. Если нам известна форма одной из этих поверхностей, указанное соотношение позволит определить форму другой.

Полученный результат можно интерпретировать с физической точки зрения. Рассмотрим не одну волну, а группу плоских волн одинаковой частоты, имеющих слегка различные направления распространения. Волновые нормали составляющих волн заполняют телесный угол вокруг «средней волновой нормали» Предположим, что заметную величину имеют амплитуды лишь тех волн, нормали которых близки к Допустим, что в момент времени фазы всех волн в точке О одинаковы; тогда возмущение в ней максимально. Исследуем теперь распространение этого максимума.

Рассмотрим все волновые фронты, которые проходят через точку О в момент Через единицу времени волновой фронт распространяющийся со скоростью в направлении достигнет такого положения что основание перпендикуляра, опущенного на него из точки О, совпадет с концом вектора Таким образом, — это плоскость, перпендикулярная к соответствующему радиусу-вектору поверхности нормалей. Амплитуда группы волн будет наибольшей в той области, где волны усиливают друг друга, т. е. там, где эта плоскость пересекает плоскости с близкими волновыми нормалями Но такая область должна находиться как раз вблизи огибающей этих плоскостей, т. е. около соответствующей точки на лучевой поверхности. Приведенные выше соображения подтверждают, что энергия, переносимая группой, распространяется со скоростью в направлении единичного вектора