ПРИЛОЖЕНИЕ 3. МЕТОД АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК ИНТЕГРАЛОВ

Цель настоящего приложения состоит в изложении математического обоснования до известной степени общих методов, используемых в основной части книги и позволяющих получить асимптотические оценки интегралов некоторых типов, часто встречающихся при решении оптических задач.

1. Метод наибыстрейшего спуска.

Этот метод позволяет получать асимптотические приближения комплексных интегралов типа

при больших значениях где не зависят от

Сейчас и в дальнейшем мы будем считать, что — вещественная и положительная величина. Полученные результаты, вообще говоря, справедливы и при комплексных значениях предварительно скажем несколько слов об асимптотических разложениях функции комплексной переменной, например .

Во-первых, согласно Пуанкаре [7], асимптотическое разложение можно определить следующим образом: если

где при всех величина стремится к 0 при для значений лежащих в заданном интервале, а — константы, то

правая часть (3) называется асимптотическим разложением для заданной области значений

Если является частным от деления двух функций, скажем, , то

Необходимо подчеркнуть, что в дальнейшем будут рассматриваться только такие разложения, которые имеют вид правой части (4) с равной , где а — некая постоянная.

Отметим теперь некоторые основные свойстна асимптотических разложений. Если ряд в (3) конечен или сходится при достаточно больших

значеииях , то он является асимптотическим; однако часто Подобные ряды сходятся не при всех значениях . В общем случае для заданной функции рассматриваемое разложение справедливо только в каком-то определенном диапазоне, значений если такое разложение возможно при всех значениях то оно сходится. Кроме того, асимптотическое разложение заданной функции в соответствующем диапазоне значений является единственным в том смысле, что коэффициенты в (3) тоже являются единственными, вместе с тем асимптотическое разложение любой функции представляет собои, кроме того, разложение для бесконечного числа функций; например, разложение совпадает с асимптотическим разложением при — Асимптотическое разложение произведения двух функций равно произведению их асимптотических разложений. Наконец, интегрируя (3) почленно, можно получить асимптотическое разложение интеграла от а дифференцируя почленно — асимптотическое разложение производной от если они существует.

В общем случае при заданном (достаточно большом) значении абсолютные величины членов разложения (3) сначала спадают до минимума, а затем начинают возрастать. Грубо говоря, если суммировать разложение до какого-нибудь члена, стоящего перед минимальным, то возникающая при этом ошибка окажемся порядка первого неучтенного члена. Очевидно, что чем больше тем больше достигнутая точность. В физических приложениях часто оказывается достаточным учитывать только первый член; например, в теории электромагнетизма поле излучения источника конечных размеров описывается первым членом асимптотического разложения полного поля по отрицательным степеням расстояния до источника.

Основа метода получения асимптотического разложения (1) по отрицательным степеням и заключается в установлении связи подобного разложения с интегралами вида

Асимптотическое разложение (5) легко получить; для этого функцию нужно разложи в ряд по степеням а затем почленно проинтегрировать его.

В последней фразе заключена сущность леммы Ватсона [10], которую можно сформулировать следующим образом. Пусть

причем радиус сходимости этого ряда равен величина вещественна и больше пуля, а вещественная часть а. меньше единицы. Пусть существует такое вещественное число что величина ограничена при всех вещественных значениях больших Тогда (буквой Г обозначается гамма-функция) выражение

является асимптотическим разложением (5).

Для физических приложений желательно, чтобы а Как уже отмечалось ранее, первый член в (7) тоже часто дает хорошее приближение.

Для того чтобы с помощью замены переменной интегрирования интеграл (1) можно было представить в виде одного или нескольких интегралов типа (5), необходимо, чтобы путь интегрирования в (1) состоял из отрезков, вдоль которых мнимая часть остается постоянной, а вещественная монотонно убывает до Если путь интегрирования не удовлетворяет этому требованию, его необходимо соответствующим образом деформировать. Такая процедура подчиняется, конечно, основным законам интегрирования в комплексной плоскости; здесь будет только показано, каким образом можно замкнуть путь интегрирования с помощью отрезков, обладающих требуемыми свойствами, если предположить, что вычисление любого остающегося контурного интеграла можно провести обычным способом.

Сделаем несколько вполне общих замечаний относительно путей интегрирования, вдоль которых мнимая часть функции постоянна независимо вида самой функции. Иными словами, укажем способ соединения двух точек на комплексной плоскости, обладающий отмеченным свойством, хотя этот метод может оказаться непригодным, если имеет особенности. Важную роль будут играть точки, в которых 1

Они называются седловыми точками, потому что в них вещественная и мнимая части стационарны на комплексной плоскости, не будучи ни абсолютными максимумами, ни абсолютными минимумами.

Если теперь представить в виде

то легко показать с помощью соотношений Коши — Римана, что вдоль любого пути скорость изменения обращается в нуль лишь в седловой точке. Другими словами, строго монотонна вдоль пути не проходящего через седловую точку, а вдоль пути проходящего через одну или несколько ссдловых точек, строго монотонна между соседними седловыми точками, а также между крайними седловыми точками и соответствующими концами пути интегрирования. Для любой точки направление, вдоль которого спадает быстрее всего, совпадает с направлением, вдоль которого и в этом смысле такие пути называются путями наибыстрейилего спуска. Если функция однозначна или превращена в однозначную с помощью разреза, то из произвольной точки всегда можно выбрать такой путь интегрирования который непрерывен в направлении уменьшения и заканчивается либо на бесконечности, либо в особой точке. Легко показать, что единственными точками (не считая особых точек), где путь может разветвляться, являются точки, в которых таким образом, если путь вдоль которого спадает, был начат правильно, то в дальнейшем можно не беспокоиться о наличии другого пути, пока не встретится седловая точка, из которой имеется по крайней мере одно направление спадания

Предположим теперь, что концевыми точками заданного пути интегрирования в (1) служат А и В и что можно найти пути наибыстрейшего спуска от А и В до бесконечности. Если оба пути оканчиваются на бесконечности в одной и той же области сходимости интеграла, то процедуру можно считать завершенной; однако если они оканчиваются в разных областях сходимости, то

последние нужно соединить или путем вдоль которого скорость изменения меняет знак только один раз (в седловой точке), или в случае необходимости несколькими путями, проходящими через промежуточные области на бесконечности. Асимптотическое разложение в обобщенном смысле (4) можно получить для каждого из этих различных путей интегрирования, однако правильное асимптотическое разложение исходного интеграла соответствует пути, на котором достигает своего наибольшего значения. Аналогичные замечания справедливы и в том случае, когда пути наибыстрейшего спуска оканчиваются в особых точках.

Необходимо отметить, что в ряде случаев описанный метод не годится, но их исследование становится возможным при небольшом его видоизменении. Прежде всего отметим, что замена верхнего предела в (5) любым положительным числом (не зависящим от не приводит к изменению асимптотического разложения (7). Следовательно, этот случай можно исследовать, используя путь наибыстрейшего спуска, вдоль которого стремится не к , а к конечному значению. Как и раньше, можно использовать путь на котором лежит несколько точек, где скорость изменения меняет знак.

Наиболее распространенным случаем, к которому применим метод наибыстрейшего спуска, является тот, где путь интегрирования идет от седловой точки до бесконечности, причем вдоль пего все время монотонно спадает. В этом случае легко получается хорошо известная формула для первого члена асимптотического разложения. Положим, что седловая точка находится в и произведем в (1) следующую замену переменных:

Тогда (1) примет вид

Для получения первого члена асимптотического разложения (11) надо знать величину при Легко показать, что эта величина равна если не стремится к бесконечности, знак корня выбирается в каждом отдельном случае особо. Тогда искомый первый член разложения имеет вид

Необходимо сделать несколько замечаний относительно случаев, когда приближение (12) недостаточно или несправедливо. Полное асимптотическое разложение получается, конечно, если разложить в степенной ряд по а затем почленно проинтегрировать (11). Как видно из (7), степень в первом члене асимптотического разложения определяется степенью с которой начинается разложение в ряд Если первый член такого ряда равен где что обеспечивает сходимость интеграла, то первый.

член асимптотического разложения имеет вид

Таким образом, если или то выражением (12) пользоваться нельзя и его следует заменить на (13). В этом случае при множитель перед стремится к пулю медленнее, чем Если или то (12) нельзя считать пригодным, но при множитель перед стремится к нулю быстрее, чем

Легко показать, что когда путь интегрирования, являющийся путем наибыстрейшсго списка, оканчивается, как и раньше, на бесконечности, по начинается не в седдовой точке, то в общем случае неэкспоненциальная часть в первом члене асимптотического разложения пропорциональна не как в (12), a . Если же величина имеет особенность или равна нулю в концевой точке, то, как и ранее, степень зависит от порядка особенности или нуля.

До сих пор были приведены результаты, получающиеся методом наибыстрейшего спуска, для асимптотических разложений в строгом математическом смысле, причем считалось, что величина может становиться бесконечно большой, а остальные параметры имеют определенные значения, не зависящие от к. Однако было показано, что вид асимптотического разложения зависит от некоторых условий, в частности от того, начинается ли путь иаибыетрейшего спуска в седловой точке или нет. Иными словами, вид разложения может зависеть не только от к, но и от других параметров, и может резко меняться, когда эти параметры принимают определенные критические значения. Таким образом, для любого данного значения к независимо от того, насколько оно велико, приведенное выше выражение не дает хорошего численного приближения, если значения остальных параметров достаточно близки к критическим. Следовательно, практически необходимо получить выражения, обеспечивающие плавный переход от одного асимптотического разложения к другому. Естественно, что эти выражения представляют собой более сложные функции к, чем (13), однако имеет смысл рассмотреть три случая, которые можно исследовать довольно строго. В кратком обзоре, излагаемом ниже, везде неявно предполагается, что комплексность всех величин такая же, как и раньше.

Предположим сначала, что обращается в нуль. Тогда (12) служит хорошим приближением лишь для случая больших к, и необходимо выражение, с помощью которого можно перейти от (12) к другой форме, пригодной при Поскольку величина близка к нулю, около должна существовать вторая седловая точка, скажем, Тогда искомое выражение получается с помощью преобразования

где

Это преобразование представляет в качестве регулярной функции в окрестности и приводит к асимптотическому разложению, выраженному чере интеграл Эйри и его первую производную по аргументу

Предположим далее, что разложение в степенной ряд по имеет радиус сходимости, стремящийся к нулю, так как обладает простым полюсом, находящимся вблизи седловой точки. Тогда (12) снова служит хорошим приближением для случая больших и требуется найти выражение, с помощью которого можно перейти от (12) к другой форме, пригодной при совпадении полюса с седловой точкой. Последний случай исследовался многими авторами [12—16]. Оказалось, что неэкспоненциальную часть подынтегрального выражения следует представить в виде суммы двух членов, один из которых содержит только полюс, тогда как другой не имеет особенностей. С последним членом обходятся обычным образом, а первый сводится к интегралу Френеля (или интегралу ошибок) в общем случае от комплексного аргумента.

Наконец, предположим, что начальная точка пути наибыстрейшего спуска не совпадает с седловой, но приближается к ней весьма близко. Ясно, что в этом случае для перехода от одной асимптотической формы к другой снова можио воспользоваться интегралом ошибок [14].