8.8.4. Фазовые соотношения.

Рассмотрим, наконец, поведение фазы возмущения в области близ фокуса Согласно (12) и (13) фаза (не считая аддитивного члена определяется выражением

где

В (42) квадратный Корень берется со знаком плюс.

Заметим, что, в отличие от распределения интенсивности, распределение фаз нельзя выразить только через и и у, так как оно имеет структуру, зависящую от угловой апертуры геометрического пучка лучей. Далее каждая «ветвь» многозначной функции непрерывна пояис во всех точках, где интенсивность не исчезающе мала, а в точках с нулевой интенсивностью она неопределенна. В фокусе, где одно из ее значений равно

Синфазные поверхности (поверхность, где ) — это, конечно, поверхности вращения относительно оси и. Покажем, что такие поверхности обладают еще и другой симметрией, определяемой соотношением

Из (14) имеем:

Тогда из (43) следует, что

а из уравнения (42) с учетом (43) и (45) находим

Следовательно, «зеркальное изображение» плоскостью любой синфазной поверхности также является синфазной поверхностью

На рис. 8.43 показаны профили синфазных поверхностей гомоцентрического пучка лучей с

Рис. 8.43. Профили синфазных поверхностей вблизи геометрического фокуса см. Константы для понорхиостей отличаются на от величин, приведенных в статье Флрнелля. сдельно для того, чтобы согласовать рисунок с нашим текстом, где. согласно (51). фаза в фокусе принята за тогда как у Фарнелла она принята

Вдали от фокуса синфазные поверхности совпадают со сферическими волновыми фронтами геометрической оптики, но все сильнее и сильнее деформируются по мере приближения к фокальной области. В непосредственной близости от геометрической фокальной плоскости они показаны на рис. 8.44. Как мы видим, вблизи фокуса синфазные поверхности достаточно плоски, но расположены в раз дальше, чем это было бы в параллельном пучке света с такой же длиной волны. Более того, на каждой синфазной поверхности интенсивность непостоянна (см. рис. 8.39). В непосредственной близости к темным кольцам Эйри (обозначенным на рис. 8.44 через поведение синфазных поверхностей более сложно. При перемещении точки наблюдения в направлении от геометрического фокуса фаза остается постоянной в промежутке между любыми двумя соседними темными кольцами, но при пересечении каждого кольца внезапно изменяется на . Справедливость последнего

утверждения вытекает из выражения (24) для комплексного возмущения в геометрической фокальной плоскости, т. е.

Так как последнее выражение чисто мнимое при всех значениях то фаза может равняться только или и поскольку ее знак изменяется при пересечении каждого темного кольца, то фаза изменяется на скачком. Такой же скачок наблюдается и при переходе через каждую осевую точку с нулевой интенсивностью.

Рис. 8.44. Профили синфазных поверхностей в непосредственной близости от геометрической фокальной плоскости гомоцентрического пучка с - радиусы первого и второго темных колец Эйри

Интересно также рассмотреть изменение фазы поля при движении точки наблюдения вдоль каждого луча, проходящего через фокус. Это удобно сделать, сравнивая такие изменения с изменениями фазы сферической волны, сходящейся в фокус в полупространстве и расходящейся затем в полупространстве Приняв фазу этой волны сравнения в фокусе за нуль, получим

где, как и раньше, расстояние между точкой наблюдения и фокусом. Разность

называется аномалией фазы.

Из (43), (48) и (49) следует, что

тогда как в самом фокусе

Аномалия фазы вдоль выбранных лучей гомоцентрического пучка с проходящих через фокус, показана на рис. 8.45

Как видно на рисунке, при прохождении через фокус вдоль любого луча, кроме аксиального, испытывает быстрое, но непрерывное изменение на . Этому эффекту, наблюдавшемуся много лет тому назад Гуи [96], были

щены многочисленные исследования (обзор литературы приведен в [97], ссылки на более поздние исследования можно найти в [87]). Вдоль оси, однако, аномалия фазы ведет себя особым образом, она изменяется периодически от 0 до .

Рассматривая асимптотическое приближение интеграла Гюйгенса—Френеля при больших (коротких длинах волн), нетрудно показать, что фаза скачком меняется на когда свет проходит через каждый из двух главных центров кривизны соответствующих волновых фронтов [12, 82].

Рис. 8.45. Аномалия фазы вдоль геометрических лучей, проходящих через фокус гомоцентрического пучка с — угол наклона луча к оси.

Разобранный выше случай соответствует особому положению, когда оба центра кривизны совпадают. Поэтому изменение фазы на половину периода соответствует решению в рамках геометрической оптики (обсуждение этого вопроса см. в [98]). На рис. 8.45 показано, как разрывы в геометрической оптике превращаются в непрерывные переходы, если учитывается конечность длин волн. Наконец, сошлемся на статью Фарнела 199], в которой описано экспериментальное исследование структуры распределения фазы в области фокуса линзы. Это исследование, проведенное в микроволновом диапазоне, дало очень хорошее совпадение с предсказаниями теории.