§ 1.6. Распространение волн в слоистой среде. Теория диэлектрических пленок

Среда, свойства которой постоянны на каждой плоскости, перпендикулярной к фиксированному направлению, называется слоистой средой. Если считать это специальное направление осью декартовой системы координат, то

Рассмотрим распространение плоской гармонической электромагнитной волны через такую среду. Это естественное обобщение простого случая, рассмотренного выше.

Теория слоистых сред приобретает важное значение в оптике в связи с многослойными системами, т. е. с системами тонких плоскопараллельпых пленок. Такие пленки можно изготовлять методом напыления в высоком вакууме, а их толщину можно контролировать с очень большой точностью. Они находят множество полезных приложений. Например, ниже будет показано, что их можно применять в качестве просветляющих пленок, т. е. в качестве покрытий, которые уменьшают отражение от данной поверхности. Вместе с тем тонкие пленки при соответствующих условиях будут увеличивать отражение. Нанесенные на поверхность стекла пленки можно использовать для разделения пучка; такие устройства применяются в интерферометрии для разделения падающего пучка на две части. При определенных условиях многослойная система может служить фильтром, который пропускает (или отражает) лишь выделенные участки спектра. Многослойные системы употребляются также в качестве поляризаторов.

Вопрос о диэлектрических и металлических пленках очень широко обсуждался в научной литературе. Было предложено много схем для расчета оптических свойств многослойных систем. Мы изложим общую теорию, развитую в превосходных и важных исследованиях Абеле [25], и подробно рассмотрим

некоторые специальные случаи, представляющие особый интерес. Естественно, нет необходимости пользоваться общей теорией при рассмотрении проблем, возникающих в случае небольшого числа пленок. Поэтому позднее (см. 7.6) мы изложим второй, более старый метод, основанный на многократном отражении.

Здесь мы будем заниматься лишь диэлектрической слоистой средой. Распространение этого анализа на проводящие среды проведено в § 13.4.

1.6.1. Основные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим плоскую гармоническую электромагнитную волну, распространяющуюся через слоистую среду. В частном случае, когда нолнч поляризована линейно и ее электрический вектор перпендикуляре» к плоскости падения, мы будем говорить о поперечной электрической волне (обозначаемой если она поляризована пнейпо и ее магнитный вектор перпендикулярен к плоскости падения, мы будем говорить о поперечной магнитной волне (обозначаемой Любую произвольно поляризованную плоскую волну можно разложить на две волны, одна из которых является волной -типа, а другая — ТМ-типа. Так как, согласно § 1.5, граничные условия на поверхности раздела для перпендикулярной к ней и параллельной компонент не зависят друг от друга, то эти две волны также будут взаимно независимы. Более того, если поменять местами Е и Н и одновременно то уравнения Макспелла не изменятся. Поэтому любую теорему, относящуюся к -волнам, сразу же можно вывести из сответствующего результата для ТЕ-волн с помощью такой замены. Таким образом, достаточно изучить подробно лишь -волны.

Возьмем в качестве плоскости падения плоскость причем направление поперек слоев. Для волны типа и уравнения Максвелла переходят в следующие шесть скалярных уравнений (зависимость от времени предполагается в виде

Эти уравнения показывают, что зависят только от у и Исключая из (1а), (2б) и (2в) (или определяя компоненту вдоль оси х волнового уравнения (1.2.5) для Е), найдем

где

Будем искать решение (3) в виде произведения двух функций, одна из которых зависит лишь от у, а другая только от

Тогда уравнение (3) примет вид

Левая его часть зависит лишь от у, тогда как правая — лишь от Следовательно, (6) может выполняться лишь в том случае, если каждая его часть равна

постоянной (скажем, ), т. е.

Удобно положить

Тогда уравнение (7) дает

следовательно, имеет вид

где — функция (возможно, комплексная). Из (26) и (2в) мы видим, что выражения для имеют такую же форму, т.

Амплитудные функции и на основании (1а), (26) и (2в) связаны следующими уравнениями:

здесь штрих означает дифференцирование по Подставляя из (13в) в (13а), мы получим вместе с (136) систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно и V

Переходя к уравнениям, содержащим лишь по одной неизвестной функции, окончательно получим следующие линейные дифференциальные уравнения второго порядка для :

В соответствии с правилом замещения, которое является следствием симметрии уравнений Максвелла, сразу же можно написать, что для волны ТМ-типа () неисчезающие компоненты векторов поля имеют вид

причем

и связаны соотношением

Функции и V удовлетворяют следующим линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

В общем случае и являются комплексными функциями . Поверхности постоянной амплитуды определяются из уравнения

поверхности постоянной фазы — из уравнения

где — фаза Оба семейства поверхностей в общем случае не совпадают, так что (и аналогично ) будет неоднородной волной. Для небольшого смещения вдоль поверхности постоянной фазы имеем

следовательно, если через обозначить угол между нормалью к поверхности постоянной фазы и то получим

В специальном случае однородной плоской волны имеем

Следовательно, соотношение с условием (9) можно рассматривать как обобщение закона преломления Снеллиуса для слоистых сред.