3.3.3. Теорема Малюса и Дюпина и некоторые другие связанные с ней теоремы.

Световые лучи были определены как траектории, ортогональные к волновым поверхностям , где решение уравнения эйконала (3 1 15) Такое определение естественно при выводе законов I еометрической оптики из уравнений Максвелла. Однако исторически геометрическая оптика развивалась как теория световых лучей, определенных по-другому, а именно как кривых, для которых криволинейные интегралы имеют стационарные значения. Геометрическую оптику, сформулированую таким образом, можно развивать далее, только используя аппарат вариационного исчисления.

Рис. 3.13 Каустика, образосапная лучами от точечного источника, расположенного на оси, после их прохождения через линзу.

Вариационный метод играет в физике очень важную роль, так как он часто раскрывает аналогии между ее различными областями. В частности, существует глубокая аналогия между геометрической оптикой и механикой движущейся частицы, эта аналогия была отчетливо обнаружена благодаря блестящим исследованиям Гампльчона, метод которого приобрел весьма важное значение в современной физике, особенно в волновой механике де Бройля Чтобы не прерывать рассмотрение оптических проблем, изложение способов вычисления вариаций и описание аналогии Гамильтона помещены в отдельных разделах (см. приложения 1 и 2). Здесь мы только покажем, как из интегрального инварианта Лагранжа можно получить несколько теорем, сыгравших важную роль в развитии I еометрическои оптики.

Рассмотрим лучи в однородной среде: если все они имеют общую точку, например исходят из точечного источника, то говорят, что лучи образуют гомоцентрический пучок Такой пучок образует нормальную конгруэнцию, поскольку каждый луч пучка пересекает под прямым углом сферические поверхности, центр которых расположен в точке пересечения лучей.

Малюс в 1808 г. показал, что если гомоцентрический пучок прямо линейных лучей преломляется или отражается какой-нибудь поверхностью, то получающийся после этого пучок (в общем случае уже не гомоцентрический) тоже образует нормальную конгруэнцию. Позднее Люпин (1816 г.), Кветеле (1825 г.) и Жергонн (1825 г.) обобщили результат Малюси. Работы этих ученых позволили сбормулировать следующую теорему, называемую иногда теоремой Малюса и Дюпина. Нормальная прямолинейная конгруэнция остается нормальной после любого числа преломлений и отражений.

Рис. 3.14. К доказательству теоремы Малюса и Дюпина,

Достаточно доказать эту теорему для случая одного акта преломления. Рассмотрим нормальную прямолинейную конгруэнцию лучей в однородной среде с показателем преломления и предположим, что лучи преломляются на поверхности Т, отделяющей эту среду от другой однородной среды с показателем преломления (рис. 3.14).

Пусть — один из волновых фронтов в первой области, А, и Р — точки пересечения произвольного луча в первой среде соответственно с то к а на преломленном луче. Если точку А, сместить в другую точку на том же волновом фронте, то точка Р на поверхности преломления сместится в . Теперь на преломленном в точке луче выберем такую точку чтобы оптический путь от до равнялся оптическому пути от до т. е. чтобы

Если перемещать точку по всей поверхности то точка при своем перемещении заполнит поверхность . Покажем, что преломленный луч перпендикулярен к этой поверхности.

Вычисляя интегральный инвариант Лагранжа по замкнутому пути , получим

На основании (8) можно напирать

Кроме того, поскольку на волновом фронте единичный вектор всюду перпендикулярен к нему, имеем

и, следовательно, (9) принимает вид

Полученное соотношение должно выполниться на для любого отрезка крйвой. Это возможно только в том случае, если для каждого

линейнего элемента поверхности т. е. если преломленные лучи перпендикулярны к ней, другими словами, если преломленные лучи образуют нормальную конгруэнцию Доказательство для случая отражения абсолютно аналогично приведенному выше.

Поскольку можно утверждать, что оптическая длина пути между любыми двумя волновыми фронтами одинакова для всех лучей. Очевидно, что этот результат остается справедливым для случая нескольких последовательных преломлений или отражений, а также, как непосредственно следует из (3.1.26), в случае распространения лучей в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Эта теорема называется принципом равного оптического пути, из нее следует, что геометрические волновые фронты нормальной конгруэнции лучей или совокупности нормальных конгруэнций, образованных в результате последовательных преломлении или отражений, «оптически параллельны» друг другу (см. приложение 1).

С последней теоремой связана теорема, впервые выдвинутая Гюйгенсом [34], которая утверждает, что каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны и, кроме того, что волновым фронтом в любой последующий момент времени служит огибающая тих вторичных сферических волн Это утверждение (построение Гюйгенса) служит правилом для построения поверхностей, «оптически параллельных» друг другу Если среда однородна, то при построении можно использовать сферические волны конечного радиуса, в противном случае необходимо пользоваться волнами бесконечно малого радиуса.

Теорема Гюйгенса была позднее обобщена Френелем и легла в основу так называемого принципа Гюйгенса—Френеля, играющего важную роль в теории дифракции (см. § 8 2) и являющегося основным постулатом волновой теории света.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)