§ 1.2. Волновое уравнение и скорость света

Уравнения Максвелла связывают между собой векторы поля системой дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, которым должен удовлетворять каждый из векторов в отдельности, можно получить путем исключения остальных векторов. Мы ограничимся рассмотрением области поля, не содержащей ни зарядов, ни токов, т. е.

Подставим выражение для В из материального уравнения (1.1.11) во второе уравнение Максвелла (1.1.2), разделим обе его части на и применим операцию Это дает

Продифференцируем затем первое уравнение Максвелла времени, используем уравнение для и исключим из системы двух уравнений, содержащей получающееся уравнение и уравнение (1). Тогда получим

Если использовать тождества (2) примет вид

Используя снова материальное уравнение для и применяя тождество , найдем из (1.1.3) соотношение

Следовательно, уравнение (3) можно записать в виде

Подобным же образом получается уравнение для Н

В частности, если среда однородна, то и соотношения (5) и (6) принимают вид

Это обычные уравнения волнового движения. Они означают, что существуют электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью

Впервые постоянная с была определена Р. Кольраушем и В. Вебером в 1856 г. из отношения значений емкости конденсатора, измеренных в электростатических и электромагнитных единицах. Оказалось, что совпадает со скоростью света в вакууме. Используя этот результ Максвелл развил свою электромагнитную теорию света, предсказывающую существование электромагнитных волн. Правильность его предсказания была подтверждена знаменитыми экспериментами Г. Герца (см. «Историческое введение»).

В любой волновой теории света элементарным процессом считают гармоническую волну в пространстве — времени (в простейшей форме она будет рассмотрена в §§ 1.3 и 1.4). Если ее частота лежит в интервале от до (приблизительно), то она вызывает у человека физиологическое ощущение определенного цвета. (Обратное, однако, неверно: окрашенный свет, вызывающий определенное субъективное цветовое ощущение, может быть совокупностью гармонических волн с весьма различными частотами.) Действительная связь между цветом и частотой очень сложна и не будет изучаться в настоящей книге.

Первое определение скорости света было сделано Рёмером в 1675 г. на основе наблюдений затмений первого спутника Юпитера; позднее другим способом (путем наблюдения аберрации неподвижных звезд) ее измерил Брэдли (1728 г.).

Первые измерения скорости света с земными источниками были выполнены Физо в 1849 г. При таких измерениях необходимо использовать модулятор, который разбивает пучок на части. Для этой цели Физо применил вращающееся колесо. В более поздних измерениях применялись вращающиеся зеркала и электронные прерыватели. Метод вращающегося зеркала был предложен Уитстоном в 1834 г. и его использовал Фуко в 1860 г. Позднее в течение многих лет Майкельсон систематически занимался усовершенствованием этого метода. Среднее значение с, получениое примерно из 200 измерений Майкельсона, равно Метод оптического прерывателя, использующий

ячейку Керра, был развит Каролусом и Миттельштетом (1928 г.), Андерсоном (1937 г.) и Хюттелем (1940 г.). Значения с, полученные из этих измерений, находятся в превосходном согласии с теми значениями, которые найдены непрямыми методами, например путем определения отношения значений электрического заряда, измеренных в электростатических и электромагнитных единицах. Так, Роза и Дорсей (1907 г.) нашли последним методом Измерения скорости электромагнитных волн в проволоках, выполненные Мерсье (1923 г.), дали значение с, равное 299 782 км/сек. Величина, полученная Бирджем [9] на основании тщательного анализа всех имеющихся данных, равна

Хорошее согласие значений с, полученных из столь различных экспериментов (причем в некоторых случаях использовалось излучение, частота которого в сотни тысяч раз отличалась от оптических частот), служит замечательным подтверждением теории Максвелла.

Рис. 1.3. Преломление плоской волны.

Для прозрачных веществ диэлектрическая проницаемость обычно больше единицы, практически совпадает с единицей, и следовательно, согласно (8), скорость меньше скорости в вакууме с. Это было впервые показано экспериментально для случая распространения света в воде в 1850 г, Фуко и Физо.

Как правило, определяется несамо значение а лишь его отношение к с; для этой цели используется закон преломления. Согласно закону преломления при падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу, разделяющую две однородные среды, отношение синуса угла между нормалью к падающей волне и нормалью к поверхности к синусу угла между нормалью к преломленной волне и нормалью к поверхности (рис. 1.3) постоянно и равно отношению скоростей распространения волн в двух средах , т. е.

Этот результат будет получен в § 1.5. Здесь мы отметим лишь, что он эквивалентен следующему предположению: несмотря на изгиб на границе, волновой фронт остается непрерывным, так что линия пересечения падающей волны с границей движется с такой же скоростью (скажем, v), как и линия пересечения преломленной волны с границей. Тогда

Отсюда, если исключить следует (10). Это рассуждение в несколько более развернутой форме часто служит для иллюстрации построения Гюйгенса (см. § 3.3).

Значение постоянного отношения (10) обычно обозначают символом и называют показателем преломления для преломления из первой среды во вторую. Мы определим также «абсолютный показатель преломления» среды

как показатель преломления из вакуума в эту среду, т. е.

Если абсолютные показатели преломления двух сред, то относительный показатель преломления для преломления из первой среды во вторую равен

Из сравнения (12) и (8) получим формулу Максвелла

Для всех веществ, которыми мы будем заниматься, практически не отличается от единицы (немагнитные вещества), и поэтому показатель преломления должен равняться квадратному корню из диэлектрической проницаемости, которая, по предположению, является постоянной среды. Вместе с тем хорошо известны эксперименты с призмой, впервые выполненные Ньютоном, которые показывают, что показатель преломления зависит от цвета, т. е. от частоты света. Если мы хотим сохранить формулу Максвелла, то необходимо предположить, что не является постоянной величиной, характеризующей среду, а зависит от частоты поля. Зависимость от частоты можно объяснить, лишь принимая во внимание атомную структуру вещества. Эта зависимость кратко будет рассмотрена в § 2.3.

Формула Максвелла (с — статической диэлектрической проницаемостью) служит хорошим приближенным выражением, например, для газов с простой химической структурой, в которых не происходит существенной дисперсии света, т. е. для веществ с оптическими свойствами, слабо зависящими от цвета света. В табл. 1.1 приведены результаты некоторых ранних измерений

Таблица 1.1

Таблица 1.2

для таких газов, выполненные Л. Больцманом [10] Формула (14) представляет собой хорошее приближенное выражение и для жидких углеводородов, например, у бензола для желтого света, а

Вместе с тем для многих твердых тел (например, стекол) и для ряда жидкостей наблюдается сильное отклонение от формулы (14) (табл. 1.2).