8. Условия Вейерштрасса и Лежандра (достаточные условия экстремума).

До сих пор мы не делали различия между максимумом и минимумом; рассмотренные экстремали (гладкие или с «петлями») могут даже соотвегствовать стационарным случаям, когда истинного экстремума вообще не существует. Выведем теперь необходимые условия истинного минимума.

Пусть фиксированная экстремаль С в поле , и пусть — любая соседняя кривая С, совпадающая с С

Рис. 4. К определению -функции Вейерштрасса.

Рис. 5 К выводу условия сильного минимума Вейерштрасса в концевых точках и и тоже целиком лежащая в поле (рис. 4). Экстремум является истинным минимумом, если

Согласно пп. 2 и 3 второй интеграл в последнем соотношении можно заменить На интеграл вдоль кривой С, т. е. на

этот интеграл не зависит от пути и сводится к если путь интегрирования совпадает с С. Следовательно, (55) принимает вид

где

а аргументы функций совпадают с аргументами функции . Функция, определенная (57), называется - функцией (или функцией избытка) Вейерштрасса; аргументы характеризуют точку на кривой С и направление последней, тогда как — направление экстремали поля, проходящей через точку

Как мы видим, обращается в нуль на любом отрезке кривой С, совпадающем с экстремалью ноля. Выберем теперь в качестве поля двухпараметрическое семейство всех экстремалей, проходящих через точку Затем проведем специальную кривую С так, чтобы она совпадала с экстремалью поля между точками , являлась прямой между точкой и точкой В, лежащей на заданной экстремали, и совпадала с заданной экстремалью между В и (рис. 5). Тогда на отрезках обращается в нуль и (56) принимает вид

Устремляя А к В, получим, что это неравенство выполняется только в том случае, если

где — координаты произвольной точки на данной экстремали С, а относятся к совершенно произвольному направлению Формула (58) служит условием сильного минимума Вейерштрасса; разумеется, оно является необходимым условием. Однако если предположить, что функция непрерывна по всем своим пяти переменным (следовательно, функция непрерывна по своим семи переменным), то при условии, что (58) удовлетворяется для всех точек заданной экстремали и при произвольном направлении неравенство (56) должно выполняться для любой соседней кривой С, имеющей произвольное направление и лежащей в некоторой окрестности кривой С. Следовательно, условие (58) является также достаточным условием сильного минимума. Это, конечно, относительный минимум, так как может найтись несколько экстремалей, для которых интеграл (1) минимален по сравнению с интегралом по всем соседним кривым; рассмотренным способом нельзя установить, какой из этих минимумов абсолютный.

Рис. 6. Геометрическое истолкование условия сильного минимума Вейерштрасса.

Неравенство (58) допускает простую геометрическую интерпретацию. Для фиксированной точки пространства величина зависит только от эту функцию можно представить поверхностью в трехмерном пространстве (На рис. 6 изображен двумерный разрез Тогда

есть, очевидно, расстояние вдоль ординаты в пространстве между точкой на поверхности и точкой (см. рис. 6), в которой плоскость, касающаяся в точке поверхности пересекает эту ординату. Следовательно, когда поверхность находится над этой касательной плоскостью. Если это справедливо для всех то имеется сильный минимум.

Если же условие (58) выполняется лишь в небольшой области то имеется слабый минимум; в этом случае величину можно разложить по степеням и тогда (снова опуская аргументы получим

При малых значениях квадратичные члены играют решающую роль, и для существования минимума они должны быть положительными. Таким образом, условие Лежандра (необходимое и достаточное) для слабого минимума имеет вид