1.5.4. Полное внутреннее отражение.

До сих пор мы исключали случай, когда закон преломления

не дает вещественного значения для угла преломления Сейчас мы исследуем этот случай. Он осуществляется при распространении света из оптически более плотной среды в среду с меньшей оптической плотностью, т. е. когда

при условии, что угол падения превосходит критическое значение определяющееся выражением

Если то , так что направление распространения света касательно к поверхности раздела. Если превышает предельное

значение свет не входит во вторую среду. Весь падающий свет отражается обратно в первую среду, и мы говорим о полном внутреннем отражении.

Тем не менее электромагнитное поле во второй среде не равно нулю, отсутствует лишь поток энергии через границу. Действительно, если в фазовом множителе (15) прошедшей волны мы положим

(индекс опущен), то получим

Выражение (55) описывает неоднородную волну, которая распространяется вдоль поверхности раздела в плоскости падения (т. е. в направлении х) и меняется экспоненциально с изменением расстояния от этой поверхности. Конечно, физический смысл имеет лишь отрицательный знак перед квадратным корнем в (55), в противном случае при увеличении расстояния амплитуда росла бы неограниченно. Как мы видим, амплитуда очень быстро уменьшается с глубиной проникновения , причем эффективная глубина проникновения порядка , т. е. порядка длины волны. Эта волна не является поперечной, поскольку, как будет показано ниже, компонента электрического вектора в направлении распространения не равна нулю.

Экспериментальная проверка наличия возмущения во второй (менее плотной) среде представляет довольно трудную задачу, ибо любое устройство, используемое для обнаружения возмущения, будет нарушать граничные условия. Грубое подтверждение можно получить, если поместить вторую преломляющую среду на расстоянии около четверти длины волны от поверхности раздела, на которой происходит полное внутреннее отражение, и наблюдать проникновение излучения во вторую среду. Изящный способ наблюдения этого явления описан работе [23], где использовались волны длиной 1,25 см.

Чтобы применить формулы Френеля (21а) к случаю полного внутреннего отражения, перепишем их в виде

Подставив в эти выражения значения величин (54) и помня, что перед квадратным корнем необходимо брать верхний знак, получим

Следовательно,

т. e. для каждой компоненты интенсивность света, отраженного при полном внутреннем отражении, равна интенсивности падающего света.

Хотя во второй среде поле отлично от нуля, легко видеть, что поток энергии через поверхность отсутствует. Точнее, можно показать, что хотя в общем

случае компонента вектора Пойнтинга в направлении, нормальном к границе, конечна, ее значение, усредненное по времени, равно нулю. Это означает, что не существует постоянного потока во вторую среду, а энергия течет туда и обратно. Запишем для компоненты поля прошедшей волны вдоль осей х и у и используем (541. (Тут необходимо брать вещественные выражения для Е и Н, так как поток энергии является квадратичной функцией компонент.) Отмечая сопряженную комплексную величину звездочкой, получим из (14)

где . Если мы рассмотрим среднее по времени значение величины

в интервале , где велико по сравнению с периодом то увидим, что оба члена исчезают при Действительно, один из них содержит множитель

который пренебрежимо мал при Т; другой содержит подобный же множитель с вместо .

Вместе с тем расчет показывает, что средние по времени значения двух других компонент вектора для именно в общем случае оказываются конечными. Поэтому энергия не проникает во вторую среду, а течет вдоль поверхности раздела в плоскости падения.

Проведенный выше анализ относился к стационарному состоянию и основывался на предположении, что граничная поверхность и волновые фронты бесконечны. Он не выясняет, как энергия первоначально попала во вторую среду. В реальном эксперименте падающая волна ограничена и в пространстве, и во времени. В начале процесса небольшое количество энергии будет проникать во вторую среду и создавать там поле. 1

Наконец, вычислим изменение фаз компонент отраженной и падающей волн. На основании (58) мы можем положить

Согласно (57) каждая из величин имеет форму Следовательно, если а — аргумент , где вещественны), то

и поэтому

Отсюда видно, что обе компоненты испытывают скачки фаз разной величины. Вследствие этого линейно поляризованный свет при полном внутреннем отражении окажется поляризованным эллиптически.

Мы можем теперь записать выражение для относительной разности фаз

т. е.

Это выражение обращается в нуль при скользящем падении и при падении под критическим углом Между этими двумя углами лежит угол, соответствующий максимуму относительной разности фаз. Он определяется уравнением

Это уравнение удовлетворяется, когда

Подставляя (62) в (61), мы получим для максимума относительной разности фаз выражение

Из (61) видно, что при заданном существуют два значения угла падения для каждого значения .

Изменение фазы при полном внутреннем отражении можно использовать (как было показано еще Френелем) для получения света, поляризованного по кругу, из линейно поляризованного света. Амплитуды компонент падающего света уравнивают выбирая направление поляризации падающей волны под углом 45° к нормали к плоскости падения (т. е. ). Тогда, согласно (58), получим Затем подбирают таким образом, чтобы относительная разность фаз была равна 90°. Для получения такого значения при одном отражении необходимо, согласно (63), чтобы

Отсюда следует, что показатель преломления более плотной среды относительно менее плотной должен равняться по крайней мере 2,41. Это значение довольно велико, хотя непоглощающие вещества, показатель преломления которых приближается или даже превышает его, существуют. Френель использовал два полных внутренних отражения в стекле. Когда то, согласно (62) и (63), максимальная относительная разность фаз

получается при угле падения , равном Поэтому значение можно получить с одним из следующих углов падения:

Разность фаз в 90° возникает в результате двух последовательных полных внутренних отражений при любом из приведенных углов. Для получения такой разности фаз применяется стеклянный блок, известный как ромб Френеля (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Ромб Френеля.

Разумеется, ромб Френеля можно использовать также для получения эллиптически поляризованного света. В этом случае азимут падающего (линейно поляризованного) света должен отличаться от 45°. Можно также получать посредством ромба Френеля линейно поляризованный свет из света, поляризованного эллиптически.

Измерение критического угла позволяет удобно и точно определять показатель преломления . Приборы, используемые для этой цели называются рефрактометрами.