§ 5.5. Коэффициенты первичных аберраций произвольной центрированной системы линз

Сформулированная в предыдущем параграфе теорема позволяет свести задачу о нахождении коэффициентов первичных аберраций произвольной центрированной системы к вычислению соответствующих коэффициентов для отдельных ее поверхностей. Проведем теперь эти вычисления.

5.5.1. Формулы Зайделя, выраженные через параметры двух параксиальных лучей.

Напомним, что коэффициенты аберраций Зайделя равны (с точностью до постоянных множителей) коэффициентам при членах четвертого порядка в разложении возмущенного эйконала Шварцшильда . Согласно (5.2.13) эта функция получается, если к угловой характеристике Т прибавить некоторые квадратичные члены, а результирующее выражение записать в переменных Зайделя. Поскольку переменные Зайделя и лучевые компоненты связаны линейными соотношениями, порядок членов при такой замене переменных не изменится. Следовательно,

Разложение угловой характеристики для преломляющей поверхности вращения до членов четвертого порядка малости включительно было проведено в § 4.1. Согласно (4.1.42) члены четвертого порядка можно записать в виде

Удобно расположить осевые точки предметами их параксиального изображения 1 в и положить 1 (рис. 5.9)

Рис. 5.9. К вычислению коэффициентов первичной аберрации.

Обозначим через К и соответствующие инварианты Аббе (см. (4.4.7))

Прежде чем подставлять выражения для лучевых компонент, записанные в переменных Зайделя, в (1), удобно переписать это соотношение в несколько иной форме. Согласно (4) имеем

Подставляя это выражение в (2), получим

Переменные в (6) можно заменить на их параксиальные значения; в частности, переменные Зайделя, относящиеся к точкам на падающем и преломленном лучах, можно поменять местами. Тогда для получения как функции

можно использовать вместо (5.2.9) соотношения

Полезно провести еще одну модификацию. Гауссовы поперечные увеличения предмет — изображение и входной — выходной зрачки можно определить из (4.4.14) и (4.4.10) или просто из тех соображений, что отображение сферической поверхностью является проекцией из центра соответствующей сферы. Тогда с учетом (4) получим

Вводя обозначения

где были использованы соотношения перепишем (7) в виде

Если, как и раньше, обозначить через три инварианта вращения то члены в фигурных скобках в соотношении (6) примут вид

Подставляя эти соотношения в (6) и используя (1), получим окончательное выражение для

Эта формула, если ее сравнить с общим выражением (5.3.3), дает коэффициенты разложения четвертого порядка возмущенного эйконала преломляющей поверхности вращения.

Теперь нетрудно обобщить этот результат на случай произвольной центрированной системы, состоящей из любого числа преломляющих поверхностей. Отметим индексом величины, относящиеся к поверхности, и пусть -показатель преломления среды, расположенной за поверхностью. Тогда, используя теорему сложения из § 5.4 и сравнивая (12) с формулой (5.3.3), находим

Это и есть формулы Зайделя для коэффициентов первичных аберраций произвольной центрированной системы преломляющих поверхностей.

Соотношения (13) выражают коэффициенты первичных аберраций через величины, характеризующие прохождение двух параксиальных лучей через систему, а именно одного луча, выходящего из осевой точки предмета, и другого — выходящего из центра входного зрачка. Полезно сделать сводку соответствующих формул Гаусса. Пусть — расстояние между полюсами поверхностей. Поскольку параксиальное изображение первыми поверхностями системы служит предметом для поверхности, можно написать следующие формулы перехода:

При заданных расстояниях от плоскости предмета и плоскости входного зрачка до полюса первой поверхности можно с помощью соотношений Аббе

и формулы (14) последовательно вычислить расстояние и соответствующие значения Необходимо также определить величины Если положить для простоты длину в плоскости входного зрачка равной единице и использовать соотношения то из (9) следует, что величины можно последовательно вычислить с

помощью уравнений

Из формул (9) и из соотношений Аббе (4) и (5) находим следующее выражение, которое может служить для проверки вычислений и понадобится нам позже: