§ 10.3. Корреляционные функции световых пучков

10.3.1. Интерференция двух частично когерентных пучков. Взаимная функция когерентности и комплексная степень когерентности.

Для удовлетворительного решения проблем, в которых фигурирует излучение с конечным набором длин волн, испускаемое конечным источником, необходимо, как мы указывали в § 10.1, установить возможную корреляцию между колебаниями в двух произвольных точках волнового поля. Подходящую меру этой корреляции можно предложить, исходя из анализа эксперимента по интерференции двух пучков.

Рассмотрим волновое поле, образованное протяженным полихроматическим источником а. Вначале пренебрежем эффектами поляризации и будем считать световое возмущение вещественной скалярной функцией положения и времени Функции поставим в соответствие аналитический сигнал Конечно, невозможно наблюдать, как эти величины меняются со временем, поскольку любой детектор регистрирует лишь средние значения за промежутки времени, в течение которых возмущение очень много раз меняет знак. Наблюдаемая интенсивность пропорциональна среднему значению , следовательно, с точностью до несущественной постоянной получим, используя (10.2.20),

Рассмотрим теперь две точки в волновом поле. Можно экспериментально определить не только , но и интерференционные эффекты, возникающие при суперпозиции колебании, исходящих из этих точек. Представим себе, что в исследуемое поле помещен непрозрачный экран с небольшими отверстиями в и рассмотрим распределение интенсивности на втором экране .53, находящемся на некотором расстоянии от в направлении, противоположном направлению на источник (рис. 10.1). Для простоты будем считать, что показатель преломления среды между двумя экранами равен единице. Пусть — расстояния от произвольной точки экрана до Точки

можно считать центрами вторичных возмущений, так комплексное возмущение в точке запишется в виде

Здесь и — времена распространения света от до и от до соответственно, т. е.

где с — скорость света в вакууме. Коэффициенты обратно пропорциональны , кроме того, зависят от размера отверстий и геомегрии всего устройства (углов падения и углов дифракции в точках

Рис. 10.1. Интерференционный эксперимент с полихроматическим светом от протяженного источника а.

Так как фаза вторичных волн, распространяющихся от отличается от фазы первичной волны на четверть периода (см. §§ 8.2 и 8.3), являются чисто мнимыми величинами.

Из (1) и (2) следует что интенсивность в точке равна

Поскольку предполагается, что поле стационарно во всех этих выражениях можно изменить начало отсчета времени. Тогда получим, например,

Если использовать также (3) и вспомнить, что чисто мнимые величины, то (4) можно свести к

где — вещественная часть функции

Понятие, определяемое выражением (7), служит основным в теории частичной когерентности. Мы будем называть его взаимной когерентностью световых колебаний в точках причем колебания в точке рассматриваются в момент времени, запаздывающий на величину по сравнению с моментом времени колебаний в точке Мы будем называть функцию взаимной функцией когерентности волнового поля. Когда обе точки совпадают получим

и тогда мы говорим об автокогерентности световых колебаний в При это соотношение сводится к выражению для обычной интенсивности

Очевидно, что член в (6) представляет интенсивность, которая наблюдалась бы в О, если бы открытым было лишь отверстие аналогичный смысл имеет и член Обозначим эти интенсивности соответственно через т. е.

а также нормируем положив

По причинам, которые вскоре станут ясными, назовем величину комплексной степенью когерентности световых колебаний. С помощью выражений (9) и (10) формулу (6) окончательно можно переписать в виде

где вещественная часть у.

Последнее соотношение выражает общий закон интерференции для стационарных оптических полей. Оно показывает, что для определения интенсивности, возникающей при суперпозиции двух пучков света, необходимо знать интенсивность каждого пучка и значение вещественной части комплексной степени когерентности. Позже мы покажем, как можно найти зная характеристики источника и пропускание среды.

Выражение (11) остается справедливым при условии, что заменено на разность хода если свет от и Р, попадает в не прямо, а через промежуточную оптическую систему, и если можно пренебречь эффектами дисперсии. При таком обобщении формула (11) выполняется и в том случае, когда два интерферирующих пучка получаются из первичного пучка не путем «деления волнового фронта» в а путем «деления амплитуды» в непосредственной близости к одной точке например в интерферометре Майкельсона. В последнем случае, в соотношение (11) будет входить вместо

В отличие от возмущения корреляционные функции представляют величины, которые можно определить из эксперимента. Чтобы найти значение для любой данной пары точек и для любого заданного значения помещают в световой пучок непрозрачный экран с небольшими отверстиями в Р, и как показано на рис. 10.1, и измеряют интенсивность в некоторой точке позади экрана, для которой Затем отдельно измеряют интенсивности света, прошедшего через каждое отверстие. Выразив через три найденные величины, получим, согласно (11)

Для определения следует также измерить интенсивности в каждом отверстии. Тогда, согласно (10) и (12), получим для

Возвращаясь к (10), нетрудно увидеть, что при нашей нормировке Чтобы показать это, введем, как в (10.2.17), обрезанные функции

и обозначим через ассоциированный аналитический Сигнал, Согласно

неравенству Шварца (см., например, 150], стр. 131) имеем

В первом интеграле правой части можно заменить на . Тогда, разделив обе части на и переходя к пределу при , получим

или, учитывая (10),

Смысл легче всего понять, если выразить (11) в несколько иной форме. Обозначим через среднюю частоту света и запишем

где

Тогда (11) перейдет в

где параметр и разность фаз равны

а — средняя длина волны. Если достигает своего максимального значения, равного единице, то интенсивность в точке будет совпадать с интенсивностью, которая получилась бы со строго монохроматическим светом с длиной волны X и разностью фаз между колебаниями в равной . В таком случае можно сказать, что колебания в Р, и (при соответствующем времени задержки тмежду ними) когерентны. Если имеет другое экстремальное значение, а именно нуль, последний член в (20) исчезает. Тогда не возникает никаких интерференционных эффектов от этих пучков, и можно сказать, что колебания некогерентны. Если не совпадает ни с одним из двух экстремальных значений, т. е. если то говорят, что колебания частично когерентны, причем представляет степень их когерентности.

При любом значении интенсивность можно также представить в виде

Можно считать, что члены в первой строчке возникают из-за когерентной суперпозиции двух пучков с интенсивностями и относительной разностью фаз члены во второй строчке из-за некогерентной суперпозиции двух пучков с интенсивностями Таким образом, свет от обоих отверстий, достигающий точки можно считать как бы состоящим из смеси когерентной и некогерентной частей с отношением интенсивностей

или

Мы видели (см. уравнение (12)), что можно найти, измеряя интенсивности в соответствующем интерференционном эксперименте. Ниже (см. мы покажем, что для большинства случаев, представляющих практический интерес, из таких экспериментов можно найти также и модуль (а в принципе и фазу)