§ 13.4. Распространение волн в слоистой проводящей среде. Теория металлических пленок

В § 1.6 мы изучали распространение электромагнитных волн в слоистых диэлектрических средах, т. е. в диэлектрических средах, оптические свойства которых зависят лишь от одной из декартовых координат. Сейчас мы кратко рассмотрим обобщение теории на слоистые среды, содержащие поглощающие элементы. Таким образом, мы предположим, что в дополнение к зависящим лишь от одной координаты, имеется конечная проводимость а, которая также является функцией только этой координаты.

В начале § 13.2 мы уже указывали, что все формулы гл. 1, которые содержат лишь линейные соотношения между компонентами векторов поля гармонической волны, остаются справедливыми и для проводящих сред, если вещественную диэлектрическую проницаемость и вещественное волновое число заменить соответственно на комплексную диэлектрическую проницаемость и комплексное волновое число Следовательно, мы можем использовать основные формулы теории слоистых диэлектрических сред, выведенные в § 1.6, при условии, что в соответствующих формулах будет сделано указанное формальное изменение. Отсюда, в частности, следует, что слоистую поглощающую среду можно характеризовать матрицей Однако элементы этой матрицы, к отличие от матрицы, относящейся к диэлектрической слоистой среде, уже не являются вещественными или чисто мнимыми, а представляют собой комплексные числа, содержащие как вещественную, так и мнимую части.

Рис. 13.4. Поглощающая пленка, расположенная между двумя диэлектрическими средами.

Для иллюстрации теории подробно рассмотрим два случая, представляющих практический интерес.

13.4.1. Поглощающая пленка на прозрачной подложке.

Рассмотрим плоскопараллельную поглощающую пленку, расположенную между двумя диэлектрическими средами (рис. 13.4), Формулы, относящиеся к отражению и пропусканию пленкой плоской монохроматической волны, получаются из уравнений (1.6.55) — (1.6.58) при замене на Удобно положить

где — вещественные величины. Легко выразить через угол падения и постоянные, характеризующие оптические свойства первой и второй сред. Возводя в квадрат (1) и используя закон преломления получим

Приравнивая отдельно вещественную и мнимую части, найдем

Отсюда следует, что

Далее необходимо найти коэффициенты отражения и пропускания для поверхностей раздела 1—2 и 2—3 соответственно, поскольку эти коэффициенты входят в формулы для коэффициентов отражения и пропускания пленки. Мы отдельно рассмотрим случаи, когда электрический вектор падающей волны перпендикулярен и параллелен плоскости падения.

Электрический вектор перпендикулярен плоскости падения ( волна). В этом случае при замене в величины на получим

Позже нам понадобятся выражения для амплитуды и изменения фазы в ясном виде. Из (5) найдем

Пропускание на первой поверхности раздела, согласно (1.6.56), запишется в виде

Это дает

Совершенно аналогичным образом мы получим следующие выражения для отражения и пропускания на второй поверхности раздела:

На основании закона преломления поэтому угол определяется через посредством соотношения

Электрический вектор параллелен плоскости падения волна).

В п. 1.6.3 было показано, что формулы для коэффициентов отражения и пропускания волны легко получить из формул для волны, заменяя величины на (при этом среда считается немагнитной). Величины теперь представляют отношения магнитных, а не электрических векторов. В частности, из (1.6.55) следует, что

Отсюда легко получить

Отношение мы получим из (1.6.56), заменяя на :

Отсюда

Подобным же образом мы получим следующие формулы для коэффициентов отражения и пропускания, относящихся ко второй поверхности раздела:

и

Зная величины сразу же можно найти комплексные коэффициенты отражения и пропускания пленки. Полезно положить

так что

Уравнения (1.6.57) и (1.6.58) теперь примут вид

Выражения для отражательной способности 54 и изменения фазы при отражении получаются непосредственно из (20); имеем

Эти формулы справедливы как для волны, так и для волны. В первом случае вместо необходимо подставить значения, определяемые соотно» шениями (6) и (9), во втором — формулами

Подобным же образом из (21) получаются следующие выражения для пропускательной способности и изменения фазы при пропускании 6:

Для волны множитель необходимо заменить на . В эти формулы нужно подставить значения, определяемые соотношениями (6), (8) — (10) для волны и (13), (15) — (17) для волны.

Напомним, что изменение фазы при отражении относится к первой границе, а изменение фазы при пропускании — ко второй.

Рис. 13.5. Зависимость отражательной способности и пропускательной способности меыллическои пленки от ее оптической толщины [12],

Уравнения (22)- (25) позволяют рассчитать четыре основные величины, которые характеризуют отражение и пропускание поглощающей пленки заданной толщины с известными оптическими свойствами. На рис. 13.5 для некоторых типичных случаев показана зависимость отражения и пропускания от толщины пленки.

Для непоглощающей пленки — периодические функции толщины пленки с периодом, равным одной длине волны. Как мы видим, поглощение уменьшает величину последующих максимумов и вызывает смещение максимумов в направлении меньших толщин. В оптическом диапазоне поглощение металлов столь велико, что толщина, при которой еще имеется заметное пропускание, значительно меньше четверти длины волны (см. табл. 13.1). Поэтому в проходящем свете максимумы и минимумы не наблюдаются.

В оптике металлические пленки применяются главным образом для получения высокой отражательной способности, например в интерферометрах Фабри — Перо (см. п. 7.6.2). Такие пленки обычно изготовляли путем химического осаждения, но в последнее время этот метод был вытеснен методом испарения в высоком вакууме (см., например, 115] или [16]).

Наконец, рассмотрим кратко отражение и пропускание «толстой» плеики. Если толщина , следовательно, параметр достаточно велики, то в (22) — (25) можно пренебречь всеми членами, которые не содержат множителя Например, если то это, как правило, не приводит к ошибке, превышающей несколько процентов. Для такой пленки при

нормальном падении или (опуская индекс 2)

Для серебряной пленки, например, при и (26) дает см.

Для толстой пленки из (22) и (24) получим

Таким образом, отражательная способность «толстой» пленки почти равна отражательной способности бесконечно толстой пленки, а ее пропускательная способность экспоненциально уменьшается с толщиной. Изменения Фазы легко найти из (23) и (25):

Формулы (27) и (28) раскрывают физический смысл нашего определения «толстой» пленки, показывая, что в такой пленке можно пренебречь влиянием многолучевой интерференции.

Рис. 13.6. Прозрачная пленка на поглощающей подложке.