13.5.3. Полное рассеяние и затухание

а. Некоторые общие соображения Представляет значительный практический интерес определить полное количество света, которое рассеивается или поглощается сферой. Его можно найги, вычисляя вектор Пойнтинга и интегрируя его по всем направлениям. С помощью соотношений ортогональности, которые существуют между присоединенными функциями Лежандра, интегралы можно выразить через коэффициенты . Эти расчеты довольно длинны; полностью они выполнены в работе Ми [45].

Полную потерю энергии падающей волной, т. е. сумму рассеянной и поглощенной энергии, можно определить другим способом из некоторых общих соображений, применимых к телу совершенно произвольной формы. Расчеты показывают существование тесной связи между потерей энергии и амплитудой рассеянной волны в первоначальном направлении Из этого результата (который мы сейчас получим) и из формулы Ми для рассеянной волны легко найти полную потерю энергии на рассеяние и поглощение сферой

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую на небольшое тело произвольной формы, находящееся в диэлектрической среде. Поле в любой точке среды, окружающей тело, вновь можно представить в виде суммы падающего и рассеянного полей, т. е.

Как обычно, мы опустим временной множитель Усредненный по времени поток энергии определяется средним значением вектора Пойнтинга. На основании (98) и формулы (1.4 56) это среднее значение равно

где

Рассмотрим усредненный поток энергии, выходящий через поверхность сферы большого радиуса с центром в некоторой точке области, занятой телом. Полный поток в единицу времени равен интегралу от радиальной компоненты величины взятому по сфере Очевидно, что для диэлектрического тела он равен нулю Однако для проводящего тела, поглощающего часть падающей энергии, суммарный поток через поверхность сферы совпадает по величине со скоростью, с которой происходит поглощение. Пусть — скорость поглощения энергии телом. Тогда из (99) имеем

где и — интегралы от радиальных компонент взятые по поверхности сферы. Поскольку предполагается, что среда, окружающая тело, является непроводящей, , следовательно,

где поверхность сферы и единичный вектор внешней нормали. Таким образом, выражение, стоящее в правой части (102), представляет скорость потери энергии на тепло и на рассеяние.

Введем единичный вектор направление которого совпадает с направлением распространения падающей волны. Тогда

Предположим, что эта волна линейно поляризована, и поэтому и можно считать вещественными постоянными векторами. На больших расстояниях от тела рассеянную волну можно считать сферической, т. е.

Векторы а характеризуют силу излучения, рассеянного в направлении Так как и падающая, и рассеянная волны подчиняются уравнениям Максвелла, получим (см. уравнения (1.4.4) и (1.4.5))

где — диэлектрическая проницаемость внешней среды, которая предполагается немагнитной Из этих соотношений следует, что на поверхности сферы большого радиуса

Подставим найденные выражения в (102). Для вычисления полученного интеграла воспользуемся леммой которая утверждает, что для произвольной функции при больших можно написать

Тогда мы получим

а соотношение (102) примет вид

где означает, что берется мнимая часть.

Из соотношения (109) следует, что в случае падения линейно поляризованного света скорость Оисеипации энергии пропорциональна проекции на направление электрического вектора падающей волны амплитуды волны, рассеянной в первоначальном направлении

Величина равная отношению скорости диссипации энергии к количеству энергии, падающей в единицу времени на единичную площадку в сечении тела называется сечением акстинкции тела. Из и (105) следует, что так что, согласно (109), найдем

Эта формула получена Ван Xулстом [48].

Рис. 13.12. К выводу соотношения {114) для сечения экстинкции при большом препятствии

Аналогичным образом можно определить сечение рассеяния и сечение поглощения тела, а именно

Очевидно, что Для непоглощающего тела и сечение экстинкции совпадает с сечением рассеяния.

Прежде чем применить соотношение (110) к сферическому телу, найдем величину для тела, которое практически не пропускает падающего света. Предположим также, что его линейные рачмеры велики по сравнению с длиной волны. В этом случае применима теория Гюйгенса—Кирхгофа, и основной вклад в рассеяние в направлении падения света обусловлен дифракцией Фраунгофера. Пусть на тело падает линейно поляризованная волна с плоским волновым фронтом, причем — часть этого фронта, не закрываемая препятствием, его часть, занятая препятствием (рис. 13.12). Рассмотрим рассеянное поле в точке Р, находящейся на большом расстоянии от тела. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля и принципу Бабине (8.3.21) имеем для малого угла дифракции

Если точка Р находится очень далеко от препятствия в направлении распространения падающей волны, то можно считать постоянным, и (112) дает

здесь — геометрическое поперечное сечение тела (площадь А). Следовательно, данном случае вектор а в (104) как функция определяется выражением и из (110) находим, что

Таким образом, сечение экстинкции большого непрозрачного тела равно удвоенному значению его геоиетрического поперечного сечения. На первый взгляд полученный результат кажется несколько парадоксальным, так как можно было бы ожидать, что для тела большего размера должно было бы быть справедливым приближение геометрической оптики, а в этом приближении сечение экстинкции равно Объяснение этого кажущегося противоречия заключается в том, что независимо от размеров тела и расстояния до точки, в которой рассматривается поле, всегда имеется хотя бы узкая область — вблизи края геометрической тени, — где приближение геометрической оптики несправедливо.

Помимо света, задерживаемого телом с поперечным сечением (потери на отражение и поглощение), возникает дополнительный вклад в экстннкцию, обусловленный соседством с краем тени, и очевидно, что этот вклад также равен Для экспериментальной проверки соотношения (114) необходимо собрать свет с достаточно широкой площадки, расположенной достаточно далеко от тела.

Применим теперь общую формулу (110) к сферическому телу. На основании (58) проекция амплитуды рассеянной волны на направление электрического вектора падающей волны при рассеянии вперед определяется выражением

Оба члена, содержащих присоединенные полиномы Лежандра, легко найти из выражения [23]

здесь зависят лишь . Из последнего выражения и из его производной находим

Подставляя (117) в (115) и используя для и асимптотические приближения (74) и (76), получим

Вспоминая, что амплитуда падающего поля считается равной единице находим искомую величину разделив найденное выражение на Подставляя ее в (110) и используя тождество справедливое для любого комплексного числа мы окончательно получим следующие выражения для сечения экстинкции сферы.

здесь коэффициенты определяются выражениями (62).

б. Результаты расчетов. Суммируем теперь основные результаты расчетов полного рассеяния, полного поглощения и экстинкции для сферы. мы показали, что при диаметре сферы, значительно меньшем длины волны (рэлеевское рассеяние), необходимо учитывать лишь первую электрическую парциальную волну. В этом случае амплитуда рассеянной волны пропорциональна так что полное рассеяние обратно пропорционально четвертой степени длины волны. Если учитывать также члены более высокого порядка, которые зависят от радиуса сферы и материальных постоянных, то полное рассеяние станет очень сложной функцией длины волны и будет

селективным . В случае золота, например, даже очень маленькая сфера дает максимум вблизи (рис. 13.13).

Такой максимум можно интерпретировать как своего рода резонанс. Предположим, что сфера не испытывает влияния поля падающего пучка света, но в ней возбуждены свободные электромагнитные колебания. Частоту и постоянную затухания таких свободных колебаний можно получить из изложенной выше теории, если в уравнениях (56) опустить члены, не содержащие коэффициентов Получающаяся система линейных однородных уравнений допускает нетривиальное решение только в том случае, если они совместны. Тогда каждое решение уравнения соответствует затухающим собственным колебаниям; частота таких колебаний очень близка к частотам, на которых имеется максимум интенсивности для определенных рассеянных парциальных волн

Расчеты рассеяния и экстинкции сферами конечного радиуса для выбранных значений показателя преломления были проделаны многими авторами. Большинство расчетов относится к диэлектрическим (вещественное и слабо поглощающим сферам. На рис. 13.14 приведена типичная кривая, полученная Гольдбергом для сфер с показателем преломления и Такой же показатель преломления у воды, и поэтому указанные результаты представляют интерес в связи с пропусканием света дымкой, тучами и туманом, а также в связи с теорией камеры Вильсона и т. д.

Рис. 13.13. Зависимость полного рассеяния на очень маленьких сферах от длины волны [56]. I — ртуть, II - золото, III - серебро, IV — идеальный проводник.

Рис. 13.14. Зависимость сечения рассеяния диэлектрических сфер с показателем преломления от параметра

Как мы видим, на кривой имеется серия максимумов и минимумов, и с увеличением радиуса сферы сечение экстинкции в согласии с уравнением (114) стремится к удвоенному значению

геометрического сечения. На кривой заметна также тонкая структура, т. е. дополнительные небольшие максимумы и минимумы. Естественно, что эти небольшие флуктуации сглаживаются, если рассеяние нызывается многими сферическими частицами не точно одинакового размера.

Аналогичный характер имеют кривые экстиикции для диэлектрических сфер с другими показателями преломления. Можно показать, что если не слишком отличается от единицы, первый максимум у всех кривых получается при значении определяемом выражением и О при этом может достигать величины

Для полностью отражающих сфер [64, 66] первый максимум на криной экстинкиии оказывается при первый минимум — при Затем появляются слабые осцилляции и кривая приближается к значению когда

Расчеты, относящиеся к случаю поглощающих сфер, значительно более трудоемки, и поэтому подробно изучено лишь несколько специальных случаев. На рис. 13,15 показаны кривые, относящиеся к рассеянию, поглощению и экстинкции небольшими сферами железа.

Рис. 13.15. Сечение поглощения сечение рассеяния и сечение экстиикции для железных сфер различного радиуса [67].

Рис. 13.16. Кривые экстинкции (сплошные линии) и кривые поглощения (пунктирные линии) для слабо пилощающих сфер с показателем преломления где величина вещественна и мала по сравнению с единицей [69]

Для сфер с большим диаметром при расчете можно пользоваться асимптотическими формулами [68], выведенными на основе теории Ми и асимптотических разложений Дебая для цилиндрических функций. Случай слабо поглощающих сфер рассматривался Хулстом результаты его расчетов показаны на рис. 13.16. Как мы видим, в последнем случае общее поведение кривых экстинкции, аналогично их поведению для диэлектрических сфер, но уже очень небольшой проводимости достаточно, чтобы полностью сгладить имеющиеся слабые осцилляции. При дальнейшем увеличении проводимости первый минимум совершенно исчезает и функции, описывающие экстипкцию и поглощение, монотонно увеличиваются, асимптотически приближаясь к значениям 2 и 1 соответственно.

Теорию Ми можно проверить экспериментально путем наблюдениярассеяния света либо одной сферической частицей, либо многими частицами (мутные среды, коллоидные растворы). Такую проверку относительно легко

провести для больших частиц, но она становится довольно трудной, когда диаметр каждой частицы порядка длины волны или меньше. Ла Меру с сотрудниками [62, 63, 701 удалось проверить теорию, измеряя угловое распределение рассеянного света, а также полное рассеяние от взвеси серных золей в воде (частицы диаметром от 3000 до 5000 А). Они использовали излучение с длинами волн в вакууме от 2850 до 10000 А и нашли прекрасное согласие с предсказаниями теории Ми. В некоторых случаях на кривой экстинкции наблюдались даже мелкие флуктуации (тонкая структура) (см. рис. 13.14).

Ряд авторов изучал рассеяние, света несферическими частицами, но в общем случае аналитический вид соответствующих волновых функций настолько сложен, что строгие решения имеют ограниченное практическое значение. Ганс [75] и другие исследователи рассматривали рассеяние электромагнитных волн эллипсоидами с размерами, малыми по сравнению с длиной волны; строгое решение для эллипсоида произвольного размера было получено в работе [761. Рассеяние длинными круглыми проводящими цилиндрами изучалось еще в 1905 г. Зейтцем [77] и Игнатовским [78], и полученные ими формулы подобны формулам Ми для сферы. Рассеяние длинными круглыми диэлектрическими цилиндрами и цилиндрами с высоким отражением исследовали Шеффер и Гроссманн [79] (см. также [80]).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)