§ 11.5. Двумерная дифракция плоской волны на полуплоскости

11.5.1. Решение дуальных интегральных уравнений для случая E-поляризации.

На нескольких последующих страницах дифракция плоской волны на полубесконечном плоском листке рассматривается строго с помощью простого точного решения соответствующих дуальных интегральных уравпений.

Рис. 11.6. Плоская волна, падающая на идеально проводящую полуплоскость.

Рассмотрим сначала -поляризованную плоскую волну

падающую на идеально проводящую полуплоскость где для удобства предполагается, что вещественно и (рис.

11.6). Уравнения (11.4.17) и (11.4.18) запишутся тогда в виде

где . Воспользуемся для их решения обычной техникой контурного интегрирования.

В интеграле в левой части уравнения отрицательно. Следовательно, согласно лемме Иордана [201 и при условии, что когда мы можем замкнуть путь интегрирования бесконечной полуокружностью ниже вещественной оси, не внося никакого дополнительного вклада в интеграл. Таким образом, дальше необходимо только потребовать отсутствия сингулярностей в полуплоскости ниже пути интегрирования, чтобы уравнение (3) удовлетворялось, так как в этом случае интеграл берется по замкнутому контуру, внутри которого подынтегральное выражение регулярно.

Аналогично в интеграле левой части уравнения положительно и можно замкнуть путь интегрирования бесконечной полуокружностью выше вещественной оси, не внося дополнительного вклада в интеграл при условии,

что когда Тогда, если произвольная функция, свободная от сингулярностей в полуплоскости выше пути интегрирования, с соответствующим поведением там то, очевидно, (2) удовлетворяется при

если путь интегрирования огибает полюс снизу, как показано схематически на рис. 11.7. Действительно, единственная возможная сингулярность функции в правой части уравнения (4) — это полюс при с вычетом, ранным , а по теореме вычетов Коши это как раз дает в интеграле (2) член .

Рис. 11.7. Путь интегрирования в комплексной -плоскости.

Переписав теперь (4) в виде

можно доказать, что правая и левая части (5) постоянны. Левая часть свободна сингулярностей в полуплоскости ниже пути интегрирования и по абсолютной величине возрастает там до бесконечности, тогда как правая часть ведет себя таким же образом в полуплоскости выше пути интегрирования. Следовательно, функция, с которой совпадают обе части, свободна от особенностей абсолютная величина ее возрастает до бесконечности на всей комплексной -плоскости, значит, такая функция должна быть полиномом, а так как для некоторых значений величина при этот полином может содержать только постоянный член.

Значение его сразу же можно найти, если положить в правой части (5); тогда

или

О значении симметрии (7) относительно а и говорится в конце п. 11.7.1.

Используя величину определяемую (7), найдем из соотношений (11.4.10), (11.4.11) и (11.4.12) компоненты дифрагировавшего поля и, следовательно, для полного поля получим

Верхний знак берстся при нижний при . Теперь остается придать полученному решению более удобную форму.