12. Пример II. Механика материальных точек.

В качестве второго примера рассмотрим механику системы материальных точек. Независимой переменной здесь выступает время а в качестве неизвестных функций — лагранжевы координаты и их производные, т. е. скорости,

Вариационный характер задачи определяется принципом Гамильтона 11

где — лагранжиан. В обычной нерелятивистской механике , где Т — кинетическая энергия, т. е. квадратичная форма по и Ф — потенциальная энергия; однако условие (73) справедливо и в более общем случае, когда действует магнитная сила и учитывается релятивистское изменение массы.

Функции соответствует теперь и следовательно, (см. (13)) величинам — импульсы

а величине соответствует , где — гамильтониан вида

Если то последнее соотношение принимает вид

Из теоремы Эйлера для однородных функций следует, что

и сводится к выражению для полной энергии, т. е.

Уравнения Эйлера (7) дают уравнения движения Лагранжа

и канонические уравнения (40) принимают вид

где Н считается функцией . Если не зависит от времени то формула (42) выражает закон сохранения энергии

В этом случае дифференциальное уравнение Гамильтона—Якоби (8,1) записывается следующим образом:

Интегрируя его, получим

где удовлетворяет уравнению

Из решения уравнения Гамильтона—Якоби получаем в согласии с (17) выражение для импульсов в виде

Отсюда следует, что линейный интеграл

не зависит от пути, соединяющего и поэтому он равен нулю, если путь интегрирования — замкнутый в односвязной области, т. е.

Если функции многозначны, то интеграл по замкнутому контуру может не обратиться в нуль, а равняться числу, кратному какому-нибудь постоянному периоду. Найденное соотношение является обобщением оптического инварианта Лагранжа (см. п. 3.3.1) и совпадает с одним из инвариантов Пуанкаре, Его можно также представить в виде

Если Н не зависит от времени, то переменную можно исключить из выражения для принципа минимума с помощью формул (45) и (46). В результате получим

Это есть принцип наименьшего действия Мопертюи, обобщенный для произвольного лагранжиана его нужно понимать следующим образом: уравнение (79) позволяет исключить производные по времени выражая их через производные, скажем если считать независимой переменной. Уравнение (87) выражает чисто геометрический принцип, который описывает траектории, но не движения. Последние можно найти из соотношения (78).

Если то , и мы получим первоначальную формулу Мопертюи

которую следует трактовать таким же образом. Рассмотрение вопросов электронной оптики (см. п. 2 приложения 2) служит примером подобного сведения задачи о движении к задаче о траекториях посредством перехода от принципа Гамильтона к принципу Мопертюи.

Условие Лежандра можно рассматривать только в случае заданного Если — квадратичная форма по то это условие, очевидно, эквивалентно утверждению, что Т — положительно определенная величина. Тогда условие Вейерштрасса тоже выполняется, и имеется сильный минимум, если удовлетворяется условие Якоби. Последнее позволяет исследовать динамические фокусы и каустики, что не представляет большого практического значения. 1

Условие Лежандра для релятивистского электрона с лагранжианом

(см. приложение 2) дает форму

квадратичную по компонентам вектора и поэтому оно всегда удовлетворяется.