§ 1.5. Отражение и преломление плоской волны

В п. 1.1.3 были получены соотношения, которым должны удовлетворять векторы поля на поверхностях, где физические свойства среды претерпевают разрыв. Применим теперь эти формулы к исследованию распространения плоской волны, падающей на плоскую границу, разделяющую две однородные изотропные среды.

1.5.1. Законы отражения и преломления.

Если на границу двух однородных сред с разными оптическими свойствами падает плоская волна, она разделяется на две волны: проходящую во вторую среду и отраженную. Существование двух волн вытекает граничных условий, так как легко видеть, что последние невозможно удовлетворить, если не постулировать наличия как проходящей, так и отраженной волн. Предположим, что эти волны также являются плоскими, и выведем выражения для их амплитуд и направлений распространения.

Плоская волна, распространяющаяся в направлении единичного вектора полностью определена, если известно поведение возмущения во времени в одной точке пространства, ибо если представляет зависимость возмущения от времени в какой-то одной точке, то эта зависимость в другой точке, отстоящей от первой на будет На границе двух сред вторичные поля будут так же изменяться во времени, как и первичное поле падающей волны. Следовательно, если — единичные векторы в направлении распространения отраженной и прошедшей волн, то, приравнивая аргументы трех волновых функций в точке на граничной плоскости получим

где скорости распространения в одной и другой средах. Учитывая, что находим из (1)

Равенства (2) должны выполняться для любых значений х и у на границе, и поэтому

Плоскость, определяемая вектором и нормалью к границе, называется Плоскостью падения. Соотношения (3) показывают, что и лежат в этой плоскости.

Считая плоскость плоскостью падения и обозначая через углы, которые образуют с осью получим (рис. 1.10)

Если волна распространяется из первой среды во вторую, компонента вектора вдоль оси положительна; если волна распространяется в противоположном направлении, эта компонента отрицательна, т. е.

Подставляя значения (4) в первую систему равенств (3), получим

Следовательно, . Используя (5), мы находим, что , поэтому

Рис. 1.10. Преломление и отражение плоской волны. Плоскость падения.

Это соотношение вместе с утверждением, что нормаль к отраженной волне лежит в плоскости падения, составляет закон отражения.

Используя соотношение Максвелла (1.2.14), связывающее показатель преломления и диэлектрическую проницаемость, из (6) найдем также

Соотношение вместе с утверждением, что нормаль к преломленной волне лежит в плоскости падения, составляет Закон преломления (или закон Снеллиуса).

Если то и мы говорим, что оптическая плотность второй среды больше, чем первой. В этом случае, учитывая (8), имеем

так что для каждого угла падения существует вещественный угол преломления Однако если вторая среда оптически менее плотна, чем первая (т. е. если то вещественное значение мы получим лишь для таких углов падения для которых Для больших значений имеет место так называемое полное внутреннее отражение. Оно будет рассмотрено ниже в п. 1.5.4.