4.10.2. Получение апланатизма.

Мы показали, что, используя в системе одну асферическую поверхность, можно добиться точного осевого стигматизма. Рассмотрим теперь случай двух асферических поверхностей, позволяющих не только получить осевой стигматизм, но и обеспечить выполнение условия синусов.

Пусть и две асферические поверхности, форму которых необходимо определить. Предположим, что в данной системе между ними нет никаких поверхностей. Однако они могут быть отделены от точек предмета и изображения любым количеством преломляющих или отражающих поверхностей. Как и раньше, мы ограничимся только окончательной корректировкой системы, предполагая, что все расчетные параметры, за исключением профилей и известны.

Рис. 4.42. К расчету формы двух асферических поверхностей системы, обеспечивающей апланатизм.

Выберем в полюсах поверхностей и начала двух прямоугольных систем координат с осями совпадающими с осью системы. Поверхность будет рассматриваться относительно системы с началом в О, поверхность -относительно системы с началом в О.

В пространстве, расположенном до поверхности пучок лучей, выходящий из осевой точки предмета Р, характеризуется соотношением вида (рис. 4.42)

Пучок лучей в пространстве за (в исправленной системе) характеризуется аналогичным соотношением

Последние выражения можно протабулировать, строя ход лучей от выбранной осевой точки изображения в обратную сторону.

Если предмет и его изображение не лежат в бесконечности, то в качестве параметров и V выбирают синусы углов, которые образуют соответствующие лучи в пространствах предмета и изображения с осью системы

Если предмет находится в бесконечности, то в качестве параметра выбирают

расстояние от соответствующего луча до оси в пространстве предмета; если же в бесконечности находится изображение, то где расстояние от соответствующею луча до оси в пространстве изображения. В обоих этих случаях должно выполняться следующее соотношение, вытекающее из условия синусов:

Нашу задачу можно теперь сформулировать так: по данным (13) и (14) найти такие формы поверхностей которые обеспечили бы переход пуика после двух последовательных преломлений на этих поверхностях в пучок кроче того, соответствующие лучи в двух пучках должны удовлетворять условию (16).

Пусть показатель преломления среды до поверхности показатель преломления среды после и — показатель преломления среды, находящейся между ними. Далее, пусть — единичный вектор вдоль луча, падающего в точку и - единичный вектор вдоль преломленного луча (см. рис. 4.42).

Согласно закону преломления (см. п. 3.2.2) вектор должен быть параллелен нормали к поверхности в точке Т. Следовательно, если — единичный вектор касательной в точке Т меридионального сечения поверхности

Таким образом, компоненты векторов и будут равны

где — угол, образованный преломленным лучом XX с осью системы, а точка обозначает дифференцировать по параметру Уравнение (17) принимает вид

Теперь, если обозначить через расстояние между точками Т и через проекции на оси и и через расстояние вдоль оси между О и О, то имеем

причем

Из рис. 4.42 следует, что

Подставляя в (19) значения из (21) и значение из (22), получим

Аналогично находим

Уравнения (21)-(25) вместе соотношением (16) и граничными условиями при позволяют провести полный расчет скорректированных

профилей двух поверхностей. Так, с помощью (21) — (23) можно исключить из (24) и (25); далее, используя (16), получаем систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно и вида

Эту систему можно решить обычными методами. Однако, поскольку требуется определить не только и но и для выбранных значений параметра проще не исключать из уравнений , а последовательно вычислять неизвестные величины.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)