§ 4.4. Параксиальная оптика

Перейдем теперь к изучению простейших свойств линз, зеркал и их комбинаций. В приводимой ними теории рассматриваются лить точки и лучи, лежащие в непосредственной близости от оси; члены, содержащие квадраты и более высокие степени расстояний от оси или углов между лучами и осью, отбрасываются. Эта теория называется параксиальной оптикой или оптикой Гаусса.

4.4.1. Преломляющая поверхность вращения.

Рассмотрим пучок параллельных лучей, падающий на преломляющую поверхность вращения, которая разделяет две однородные среды с показателями преломления Положение точек и лучей в обеих средах будет описываться относительно одной декартовой системы координат, начало которой находится в полюсе О поверхности, а ось направлена вдоль оси симметрии.

Пусть — точки соответственно на падающем и преломленном лучах. Если пренебречь членами второго и более высоких порядков, то из выражений (4.1.29). (4.1.40) и (4.1.44) следует, что координаты этих точек и лучевые компоненты обоих лучей связаны между собой

соотношениями

где, согласно (4.1.45),

а - «параксиальный» радиус кривизны Поверхности.

Выясним теперь, при каких условиях все лучи, исходящие из точки (можно предположить, что они лежат в плоскости пройдут после преломления через . В этом случае координаты точки будут зависеть только от координат и не будут зависеть от лучевых компонент; поэтому при исключении из (16) величина тоже должна исчезнуть.

Из первого уравнения (16) следует, что

Подставляя это выражение во второе уравнение (16), получим

Следовательно, является стигматическим изображением если

или после подстановки сюда

что можно записать также в виде

Из (7) видно, что в рассматриваемом нами приближении каждая точка дает стигматическое изображение; расстояния сопряженных плоскостей до полюса преломляющей поверхности О связаны между собой соотношением (7). Более того, уравнение (4) при условии (5) означает, что данное отображение является проективным преобразованием.

Правая и левая части (7) называются инвариантом Аббе преломления) и играют важную роль в теории оптического отображения. Соотношение (7) можно еще представить в виде

Величина называется оптической силой преломляющей поверхности обозначается буквой т. е.

Согласно (4) и (5) поперечное увеличение равно единице, если Однако из (2) вытекает, что Следовательно, координаты главных точек и равны нулю, т. е. главные точки совпадают с полюсом поверхности вращения. Далее из (8) имеем

следовательно, абсциссы фокусов равны соответственно . Поэтому фокусные расстояния определяются соотношениями

или, используя выражение для

Позже будет показано, что соотношение справедливо нетолько для одной преломляющеи поверхности, но и для любон центрироваыюи сискмы, причем воличины с индексом 0 относятся к пространству предмета, а величины с индексом к пространству изображения Следовательно, можно считать, что соотношение (11) служит общим определением оптической силы центрированной системы Практической едипицеи оптической силы является диоптрия, соответствующая силе сферической поверхности с фокусным расстоянием - и в вакууме Оптическая сила положительна для собирательной системы и отрицательна для рассеивающей

Рис. 4.12. Положение кардинальных точек при преломлении на поверхности вращения.

Поскольку и имеют разные знаки, отображение оказывается диоптрическим Если поверхность обращена своей выпуклой к падающему пучку то и отображение получается сходящимся. Если то оно будет расходящимся (рис. 4.12). Если же поверхность обращена своей вогнутой частью к падающему пучку, то типы отображений поменяются местами.

Используй (10), можно записать соотношение (8) в виде

а коэффициенты (2) — в форме

Введем в каждом из двух пространств свои системы координат, начала которых находятся в фокусах, а оси параллельны осям исходной системы; тогда

В этих координатах уравнения (12) и (4) при выполнении условия (б) принимают обычный вид (4.3.10), т. е.