1.6.2. Характеристическая матрица для слоистой среды.

Решения только что выведенных дифференциальных уравнений, подчиняющиеся соответствующим граничным условиям, и различные теоремы, относящиеся к слоистым средам, удобнее представлять в матричной форме. Поэтому перед тем, как рассматривать следствия из наших уравнений, мы кратко изложим основные определения, относящиеся к матрицам.

I. Под матрицей мы понимаем совокупность вещественных или комплексных чисел, расположенных в виде прямоугольной или квадратной таблички

Символ обозначает элемент в строке столбца. Матрица обозначается символом А или Если матрица содержит строк и столбцов, то говорят, что это матрица на (или -матрица). В специальном случае, когда называют квадратной матрицей порядка т. Если А — квадратная матрица, то определитель, который состоит из таких же элементов в тех же положениях, что и элементы матрицы А, называегся определителем матрицы А. Он обозначается через или . Если , то говорят, что матрица А унимодулярна.

По определению две матрицы равны, только если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и если равны их соответствующие элементы. Если две матрицы с равным числом строк и равным числом столбцов, то их сумма определяется как матрица С, элементы котором равны Аналогично их разность определяется как матрица с элементами

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей. Квадратная матрица с элементами при всех значений называется единичной матрицей и обозначается через .

Произведение матрицы А и числа (вещественного или комплексного) определяется как матрица В с элементами

Произведение двух матриц определено лишь для случая равенства числа столбцов в А числу строк в В. Если А — это -матрица, это -матрица, то их произведение по определению будет -матрицей с элементами

Таким образом, операция умножения двух матриц аналогична умножению определителей равных порядков, когда строка умножается на столбец. В общем случае Например,

тогда как

В специальном случае матрицы А и В называют коммутирующими.

Приведенных определений к свойств матриц, достаточно для наших целей, и поэтому мы можем вновь возвратиться к обсуждению распространения электромагнитных воли через слоистую среду.

II. Поскольку функции удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям второго порядка [типа (15) и (16)], каждую из них Ложно выразить в виде линейной комбинации двух частных решений, скажем . Эти частные решения не могут быть произвольными; они должны быть связаны дифференциальными у равнениями первого порядка (14), а именно.

Отсюда следует, что

так что

Это соотношение означает, что определитель

соответствующий любым двум произвольным решениям системы (14), постоянен, т. е. что является инвариантом нашей системы уравнений.

Для наших целей наиболее удобно выбрать такое частное решение:

чтобы

Тогда решение с

можно выразить в виде

или в матричной форме

где

Из соотношения D = const следует, что определитель квадратной матрицы постоянен. Значение этой постоянной сразу же можно получить, полагая что дает

Обычно удобнее выражать как функции Разрешая относительно получим

где

Эта матрица также унимодулярна, т. е.

Смысл матрицы М ясен: она связывает и (-компоненты электрического (или магнитного) векторов на плоскости с этими компонентами на произвольной плоскости . Таким образом, мы видим, что для полного определения поля достаточно знать и V. Следовательно, для того чтобы узнать, как распространяется плоская монохроматическая волна через слоистую среду, последнюю необходимо охарактеризовать лишь соответствующей унимодулярной -матрицей М. По эгой причине мы будем называть М характеристической матрицей слоистой среды. Постоянство определителя можно доказать с помощью закона сохранения энергии.

Ниже рассматривается форма характеристической матрицы для случаев, представляющих особый интерес.

а. Однородная диэлектрическая пленка. В этом случае величины в, и постоянны. Если угол между нормалью к волне и осью то, согласно (24), имеем

Для волны ТЕ-типа получим в соответствии с (15) и (16)

Легко видеть, что решения этих уравнений, удовлетворяющие соотношениям (14), имеют вид

Следовательно, частное решение (27), удовлетворяющее граничным условиям (28), запишется следующим образом:

Если мы положим

то получим характеристическую матрицу в виде

Те же уравнения будут справедливы для волны ГМ-типа, если заменить на

б. Слоистая среда, состоящая из тонких однородных пленок. Рассмотрим две смежные слоистые среды, первая из которых занимает пространство от до а вторая — от до . Если — характеристические матрицы двух сред, то

так что

Этот результат немедленно можно обобщить на случай непрерывного ряда слоистых сред, расположенных в областях . Если характеристические матрицы сред, то

С помощью последнего соотношения легко вывести соответствующее выражение для характеристической матрицы любой слоистой среды мы разбиваем эту среду на очень большое число тонких пленок толщиной Если их максимальная толщина достаточно мала, можно считать, что постоянны в каждой пленке. Из (39) видно, что в этом случае характеристическая матрица пленки приближенно равна

Следовательно, характеристическая матрица всей среды, рассматриваемой как совокупность тонких пленок, приблизительно равна

где

Здесь также оставлены лишь члены до первого порядка по включительно . Переходя к пределу при таким образом, чтобы максимум стремился к нулю, получим

где

а интегрирование проводится по всему интервалу изменения . Выражение (43) дает первое приближение для характеристической матрицы произвольной слоистой среды. Оставляя в разложении величин и в произведении (42) члены более высоких порядков, можно получить следующие приближения.

Поскольку для непоглощающей среды вещественны, то видно также, что характеристическая матрица непоглощаюшрй слоистой среды имеет вид

где вещественны.