§ 3.2. Общие свойства лучей

3.2.1. Дифференциальное уравнение для световых лучей.

Световые лучи были определены как траектории, ортогональные к геометрическим волновым фронтам и мы показали, что если есть радиус-вектор произвольной точки луча, дина луча, отсчитываемая отстой точки на нем, то

Уравнение (1) описывает поведение лучей с помощью функции однако из него легко получить дифференциальное уравнение, характеризующее лучи непосредственно показателем преломления

Дифференцируя (1) по получим

При зтих преобразованиях использовано соотношение (3.1.15), Таким образом,

Последнее соотношение представляет собой векторную форму дифференциальных уравнений для световых лучей. В частности, в однородной среде и (2) принимает вид

откуда

здесь — постоянные векторы. Соотношение (3) — это векторное уравнение прямой линии, направленной по а и проходящей через точку . Следовательно, в однородной среде световые лучи являются прямыми линиями,

В качестве примера, представляющего известный интерес, расмотрим поведение лучей в среде, обладающей центральной симметрией, т. е. в среде, показатель преломления которой зависит только от расстояния до фиксированной точки О:

Подобные условия приближенно выполняются в земной атмосфере, если Учитывается кривизна Земли.

Рассмотрим изменение вектора вдоль луча. Имеем

Поскольку первый член в правой части (5) обращается в нуль. Второй член можно на основании (2) переписать в виде Далее из (4) получим

таким образом, второй член в правой части (5) также обращается в нуль. Следовательно,

Отсюда следует, что все лучи являются плоскими кривыми, - лежащими в плоскости, проходящей через начало координат, и вдоль каждого луча выполняется условие

где — угол между радиусом-вектором и касательной в точке Р (рис. 3.5). Так как величина равна расстоянию от начала координат до касательной, выражение (7) можно записать в виде

Рис. выводу формулы Бугера для лучей, распространяющихся в сферически симметричной срсде.

Это соотношение иногда называют формулой Бугера, она является аналогом известной формулы динамики, выражающей закон сохранения углового момента частицы, движущейся под действием центральной силы.

Чтобы получить в явном виде уравнения световых лучей в сферически симметричной среде, вспомним из элементарной геометрии, что если — полярные координаты, то угол между радиусом-вектором точки Р на плоской кривой и касательной в этой точке дается соотношением (см., например, (261)

Из (7) и (9) найдем

где с — постоянная. Тогда уравнение лучей в сферически симметричной среде можно записать в виде

Вернемся теперь к обсуждению общего случая и рассмотрим вектор кривизны луча, е. вектор

длина которого равна величине, обратной радиусу кривизны; — единичный вектор главной нормали в произвольной точке луча,

Из соотношений (2) и (12) следует, что

Это соотношение показывает, что градиент показателя преломления лежит в соприкасающейся плоскости луча.

Умножив (13) скалярно на К и воспользовавшись (12), получим

Поскольку величина всегда положительна, отсюда следует, что вдоль главной нормали показатель преломления возрастает, т. е. луч «загибается» в область большим показателем преломления (рис. 3.6).