11.4.2. Угловой спектр плоских волн.

Как было показано выше, в случае двумерных задач, которыми мы ограничиваемся, декартовые компоненты векторов Е и Н удовлетворяют уравнению

Это уравнение должно решаться при соответствующих граничных условиях.

Основное элементарное решение уравнения (3) имеет вид

где - полярные координаты, связанные с х и у уравнениями а — угол между направлением распространения волны и . При вещественном а выражение (4) представляет плоскую однородную волну, т. е. такую волну, у которой плоскости равных амплитуд и равных фаз совпадают. Если же а комплексно, выражение (4) представляет неоднородную плоскую волну, т. е. такую волну, у которой плоскости равных амплитуд и равных фаз не совпадают. Действительно, обозначив где вещественны, получим вместо (4)

отсюда следует, что плоскости равных амплитуд и плоскости равных фаз взаимно перпендикулярны (рис. Направление распространения фазы составляет с осью х угол причем фазовая скорость уменьшается в раз. В перпендикулярном направлении имеет место экспоненциальное ослабление, определяемое коэффициентом

Рис. 11.2. Плоская волна, описываемая соотношением (4). а — однородная плоская волна при шестреином пунктирные линии обо пачгют плоскости равных амплитуд и ргишых -неоднородная пскя полна при комплексном лоскости равных пунктирной линии плоскости равных

Теперь покажем [20], что при соответствующем выборе пути интегрирования и подходящем выборе функции любое решение (3) можно представить в виде углового спектра плоских волн

Такое представление связано с представлением произвольной функции с помощью интеграла Фурье и подобно последнему широко используется в приложениях. Без значительной потери в общности можно задать некоторый фиксированный путь интегрирования и тем самым свести любую задачу к отысканию соответствующей функции Представим сначала таким образом электромагнитное поле, создаваемое плоским листком тока, а затем покажем, что

это приведет нас к формулировке задачи дифракции на плоском экране в виде дуальных интегральных уравнений.

Рассмотрим двумерный листок тока в плоскости Как уже отмечалось выше, удобнее иметь дело отдельно с Е-поляризацией и -поляризацией. Сначала рассмотрим первый случай, когда плотность тока имеет только -компоненту, допустим Попытаемся выяснить, при каком особом распределении появляется -поляризованная плоская волна

в полупространстве Из первого соотношения (11.2.2) сразу же видно, что в точке

Рис. 11.3. Путь интетрирования С а комплексной -плоскости.

Это конечно, можно проверить обычным методом потенциалов Герца, находя поле, создаваемое данным распределением тока, но тогда придется вычислять достаточно сложный интеграл.

Итак, вообще говоря, можно создать любое распределение тока путем соответствующей суперпозиции выражений (7) для разных значений а, а возникающее поле можно получить соответствующей суперпозицией плоских волн (6). Более точно, допустим, что плотность тока можно записать в виде интеграла Фурье

Замена переменной дает

где С — путь в комплексной -плоскости, вдоль которого изменяется (принимая только вещественные значения) от до (рис. 11.3). Результирующие не равные нулю компоненты поля равны, следовательно,

Верхний знак берется для нижний — для .

Рис. 11.4. Направления распространения однородных воли, излучаемых в полупространство (сплошные линии) и в полупространство (пунктирные линии).

Уравнения (10), (11) и (12) представляют полей виде спектра плоских волн, определенного с помощью функции Отдельные плоские волны, соответствующие части пути С вдоль вещественной оси, однородны и излучаются в области в каждой области направления их распространения лежат в пределах угла (рис. 11.4). Плоские волны, соответствующие двум частям С, для которыха (от неоднородны; для них распространение фазы происходит вдоль положительного или отрицательного направления осих, и имеет место экспоненциальное ослабление волны в направлении, нормальном к плоскости Легко показать.

исследуя поведение вектора Пойнтинга, что в среднем ни одна из этих исчезающих волн не переносит энергии от плоскости Наличие таких волн необходимо для учета структуры в распределении тока, которая мельче длины волны.

В случае - поляризации поле, созданное током с плотностью тока на можно аналогично записать в виде

Верхний знак берется для нижний — для причем