§ 5.6. Пример: первичные аберрации тонкой линзы

Используем теперь формулы Зайделя для нахождения коэффициента» первичных аберраций тонкой линзы с показателем преломления расположенной в воздухе (вакууме). В этом случае

Поскольку толщиной линзы можно пренебречь, то, согласно (5.5.14), имеем

и (5.5.15) дает

Далее, учитывая (2), получим из (5.5.16) и (5.5.20)

Линзу удобно характеризовать несколькими простыми параметрами. Пусть -оптическая сила линзы (см. уравнения (4.4.35) и (4.4.36)), т. е.

и пусть

Из (3) имеем

так что с учетом (2)

Перепишем это соотношение в виде

здесь X играет для линзы ту же роль, что и К для одной поверхности. Соответственно величину X мы будем называть инвариантом Аббе линзы.

Позднее будет показано, что коэффициенты деформации двух поверхностей линзы входят в формулы лишь в комбинации

эту величину можно назвать коэффициентом деформации линзы.

Выразим теперь величины, входящие в формулы Зайделя (5.5.24), через параметры . Первые три параметра характеризуют линзу, а последний — положение предмета. Сначала получим из (3)

Далее

Подставляя эти соотношения в формулы Зайделя (5.5.24), находим следующие выражения для коэффициентов первичных аберраций тонкой линзы:

где

Здесь мы рассмотрим только случай совпадения входного зрачка с линзой Согласно (4) имеем

и формулы (13) принимают вид

Таким образом, величины , определенные (14), характеризуют сферическую аберрацию и кому линзы с диафрагмой, расположенной в ее плоскости. В такой линзе отсутствует дисторсия однако всегда имеются астигматизм и кривизна поля

Выясним, существует ли для такой линзы пара апланатических точек Согласно (15) кома будет отсутствовать, если или

Тогда из (9) найдем расстояние до предмета

При таком выборе сферическая аберрация линзы полностью определена.

Следовательно, в общем случае для линзы с диафрагмой, лежащей в плоскости линзы, не существует пары апланатических точек. Однако если заданы только , то сферическую аберрацию можно устранить, выбрав подходящий коэффициент деформации .

Если же заданы и фокусное расстояние то можно так подобрать радиусы чтобы исчезла кома. В этом случае, согласно (5), (6) и (17), имеем

Если, например, предмет находится в бесконечности то

На рис. 5.10 изображена такая линза, свободная от комы.

Рис. 5.10. Тонкая линза, свободная от комы.

Дредмет находится в бесконечности, — центры кривизны поверхностей линзы.

Сферическую аберрацию можно теперь устранить подходящим выбором Если предмет находится в бесконечности, то, согласно (9), , следовательно, из (16) имеем тогда из условия отсутствия сферической аберрации получим следующее выражение для

или

При имеем

так что из (10) и (19) находим

Последнее соотношение выполняется, например, при .

Можно вместо устранения комы попытаться сначала уменьшить сферическую аберрацию. Оказывается, что в случае положительного фокусного расстояния линзы сферическая аберрация исчезает полностью лишь тогда, когда предмет находится в определенной, ограниченной области пространства; при эта область простирается от до за линзой. При любом другом положении предмета некоторая сферическая аберрация всегда имеется.

Для устранения кривизны поля необходимо использовать диафрагму, помещенную в соответствующее место, которое можно определить из общих формул (13). Для линзы с положительным фокусным расстоянием и удается устранить кривизну поля, только если предмет находится в области, простирающейся от точки, удаленной на одно фокусное расстояние перед линзой, до точки, удаленной на половину фокусного расстояния за линзой.

Для системы, состоящей из нескольких линз, вычисления становятся значительно сложнее и основная задача состоит в устранении хроматической аберрации. Относительно просто исследовать первичные аберрации ахроматического объектива телескопа, состоящего из двух склеенных тонких линз; оказывается, что в этом случае все первичные аберрации, кроме астигматизма и и кривизны поля, можно устранить, следовательно, такой объектив годится только для узкого поля зрения (не более 3° для системы ),