§ 9.4. Дифракционная картина, получающаяся при наличии одной аберрации

Рассмотрим теперь дифракционное изображение при наличии аберрации, которая описывается одним членом разложения (9.2.11), а именно

Как и раньше, избавимся от явной зависимости Ф от положив

Введем обозначение

Тогда дифракционный интеграл (9.1.6) принимает вид

Интеграл (4) можно представить в виде бесконечного ряда, если разложить с помощью тождества Якоби (см. (8.8.29))

Перемножая оба ряда, получим

где штрихи при символах суммы означают, что члены с индексами следует брать с коэффициентом Подставив (6) в (4) и проинтегрировав почленно по углу , находим

где член с индексом снова надо брать с коэффициентом .

Поскольку нас интересуют только малые аберрации мало), можно разложить член под знаком интеграла в степенной ряд, а затем расположить его члены по возрастающим степеням . Тогда имеем

где

Как показал Нижбер, если равны по порядку величины единице, то первых четырех членов разложения (8а) достаточна для получения интенсивности с точностью до нескольких процентов.

Для вычисления интегралов в (86) можно поступить следующим образом. Выразим множитель через радиальные полиномы с помощью хорошо известной формулы Бауэра в виде

где полиномы Лежандра. Полагая и используя соотношение (см. (9.2.8)), получим

Если подставить (10) в (86), то в правые их части будут входить интегралы, каждый из которых состоит из функции Бесселя, умноженной на произведение радиальных полиномов. Эти интегралы можно вычислить с помощью формулы (9.2.9), а именно

при условии, что каждое произведение радиальных полиномов выражается в виде линейной комбинации членов вида с индексом равным порядку функции Бесселя, на которую умножается данное произведение. Общее выражение для коэффициентов получить довольно трудно, но если не очень велики, то требуемые линейные комбинации строятся довольно просто с помощью табл. 9.1, что будет показано ниже на нескольких примерах. Для ознакомления с методами, применяемыми в более общих случаях, мы отсылаем читателя к работе Нижбера.

В частном случае волны, свободной от аберраций, подстановка (10) в (7) дает с учетом (11)

Полученное разложение, несмотря на формальное различие, эквивалентно рядам Ломмеля, описанным в п. 8.8.1.

Из соотношений (8) можно сразу же получить некоторые общие свойства дифракционного изображения. Как мы видим, величина не изменяется при замене на следовательно, ось является осью симметрии порядка. Более того, плоскости, проходящие через ось и составляющие с плоскостью углы слуокат плоскостями симметрии. При система обладает, конечно, вращательной симметрией.

Рассмотрим теперь симметрию относительно плоскости . Отметим, что при замене и на — и все интегралы в (8) превращаются в комплексно сопряженные. Если нечетное число, то все коэффициенты при интегралах вещественны. Поэтому в этом случае заменяется на комплексно сопряженную величину и, следовательно, интенсивность не изменяется. Иными словами, распределение интенсивности симметрично относительно плоскости если — нечетное число. Если же — четное, но не равное нулю число, то коэффициенты, содержащие множитель (здесь целое число), оказываются вещественными, а коэффициенты, содержащие множитель чисто мнимыми. Поэтому величина превращается в комплексно сопряженную при одновременной замене и на Следовательно, если — четное, но отличное от нуля число, то интенсивность в точке плоскости равна интенсивности в точке, получающейся при зеркальном отражении исходной точки относительно плоскости с последующие поворотом на угол вокруг оси Таким образом, ось которая в общем случае, как отмечалось выше, служит осью симметрии порядка, является при четном осью симметрии порядка относительно дифракционной картины в плоскости При (сферическая аберрация) дифракционное изображение несимметрично относительно плоскости

Наконец отметим, что распределение интенсивности сохраняется при изменении знака коэффициента аберрации и одновременной замене на , когда четно, или при замене на когда нечетно.

Рассмотрим теперь кратко структуру изображения, получающегося в системе при наличии небольшой первичной аберрации.