4.9.3. Косые лучи.

До сих пор мы рассматривали только лучи, лежащие в меридиональной плоскости. Сейчас мы кратко исследуем прохождение косых лучей, т. е. лучей, не компланарных с осью. Построение траекторий таких лучей весьма трудоемко и обычно проводится лишь при конструировании систем с очень большими апертурами.

Будем теперь характеризовать луч направляющими косинусами и координатами точки, в которой он пересекает определенную поверхность системы. Выберем в полюсе первой поверхности прямоугольную систему координат с осью направленной вдоль оси системы. Пусть — направляющие косинусы луча, падающего в точку (рис. 4.40).

Рис. 4.40. Построение хода косого луча.

Первый шаг состоит в вычислении косинуса угла падения . Если — радиус первой поверхности, то направляющие косинусы нормали в точке равны

так что

Следующий шаг состоит в определении направляющих косинусов преломленного луча. Это делается в два приема. Сначала вычисляется косинус угла преломления с помощью закона преломления в форме

Затем учитывается, что преломленный луч лежит в плоскости падающего луча и нормали к поверхности. Если обозначить через единичные векторы в направлениях падающего луча, преломленного луча и нормали к преломляющей поверхности, т. е. векторы с компонентами , то из условия компланарности получим

где некоторые скалярные функции. Для определения умножим сначала (29) скалярно на и используем соотношения (см. рис. 4.40) . Получим

Затем, умножая (29) скалярно на и учитывая соотношения находим

Из двух последних соотношений следует, что

и из (29) получаем три уравнения для направляющих косинусов преломленного луча, а именно

где

Таким образом, с помощью уравнений (27), (28), (30) и (31) мы определили траекторию луча, прошедшего через первую поверхность.

Преломленный луч можно теперь считать падающим относительно второй поверхности. Выбирая систему координат с началом в полюсе второй поверхности и осями, параллельными осям первой системы, получим уравнения перехода для направляющих косинусов в виде

Пусть расстояние между полюсами первой и второй поверхностей. Обозначая через координаты точки отнесенные к системе с началом в точке получим уравнения перехода для координат в виде

Далее необходимо определить координаты точки в которой преломленный луч пересекает вторую поверхность. Если — расстояние между то

При определении используется то обстоятельство, что лежит на второй поверхности. Пусть радиус этой поверхности; тогда

Подставляя (34) в это выражение, получим уравнение для D

где

Уравнение (36) дает следующее значение если учесть, что для осевого луча

Подставляя полученное выражение для в (34), находим координаты точки

И, наконец, для завершения цикла вычислений следует найти косинус угла падения на второй поверхности. Он определяется из выражения, совершенно аналогичного (27), а именно

или с учетом (34) и (38) —

Таким образом, последний шаг состоит в вычислении выражений (40), (38) и (34),

Из-за больших трудностей, возникающих при построении хода произвольных косых лучей, иногда ограничиваются случаем косых лучей, находящихся в непосредственной близости от выбранного главного луча. Построение хода таких лучей можно осуществить с помощью упрощенных методов (см. [49, 501), сходных с методами, использованными при построении хода параксиальных лучей, и пригодных для определения положения сагиттальной фокальной поверхности,