3.1.3. Распространение векторных амплитуд.

Мы видели, что в случае достаточно коротких длин волн распространение энергии можно описать с помощью простой гидродинамической модели, полностью характеризующейся вещественной скалярной функцией , которая служит решением уравнения эйконала (15) По традиции считается, что в геометрической оптике рассматривается именно такая приближенная картина распространения энергии, в которой использовались понятия луча и волновых фронтов. Другими словами, поляризация света не рассматривалась Это, без сомнения, объясняется тем, что простые законы геометрической оптики, относящиеся к лучам и волновым фронтам, были известны из экспериментов задолго до появления электромагнитной теории света Однако можно, и с нашей точки зрения вполне естественно, расширить рамки геометрической оптики, включив в нее некоторые геометрические законы, связанные с распространением векторных амплитуд . Эти законы легко получить из волновых уравнении (10) и (17).

Поскольку функция удовлетворяет уравнению эйконала, и мы видим, что при достаточно больших (малых ) в уравнениях (16) и (17) остаются лишь члены, содержащие . Следовательно, в рассматриваемом приближении векторные амплитуды и эйконал связаны между собой

соотношениями Если снова воспользоваться оператором определенным (38), то уравнения примут вид

Это и ссгь искомые уравнения переноса, описывающие изменения и вдоль каждого луча Чтобы лучше понять их физический смысл, необходимо отдельно рассмотреть изменения этих векторов по величине и направлению.

Умножим (41) скалярно на и к полученному уравнению прибавим комплексно сопряженное. Это дает

Учитывая тождество , разность можно записать следующим образом

Интегрируя (43) вдоль луча, получим для отношения величин в любых двух точках луча соотношение

Это соотношение можно представить и в форме

которая получается, если (43) записать в виде

и интегрировать вдоль луча Фактически соотношение (45а) является лишь иной формой вырэ» жепия (40) для изменения интенсивности и следует из него, если использовать выражение

и формулу Максвелла

Аналогичным образом получим

Рассмотрим теперь изменение комплексных единичных векторов

вдоль каждого луча Подстановка в (41) дает

Согласно (43) выражение в квадратных скобках равно нулю, и мы имеем

и аналогично

Эти соотношения и представляют законы изменения и и вдоль луча. В частности, для однородной среды и (49) сводятся к выражениям , т. е. векторы и и в этом случае остаются постоянными вдоль каждого луча.

Наконец, отмстим, что для гармонической по времени однородной плоской волны в однородной среде постоянны; следовательно, в уравнении Поэтому такая волна (независимо от ее частоты) строго подчиняется законам геометрической оптики.