ГЛАВА 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ

В § 4.9 было указано, что отклонение световых лучей от траекторий, предсказанных теорией Гаусса, можно исследовать в рамках геометрической оптики либо методом построения хода лучей, либо с помощью алгебраического анализа. В последнем методе, которому посвящена настоящая глава, при разложении характеристических функций оставляются члены, содержащие более высокие, чем вторая, степени расстояний от оси. Эти члены описывают геометр и ческие аберрации.

Ранние попытки расширить теорию Гаусса связаны в основном с изобретением в 1839 г. Дагерром (1789-1851 гг.) фотографии. Перед практической оптикой, в которой до этого занимались главным образом конструированием объективов телескопов, встала новая задача создания объективов с большими апертурами и большими полями зрения. Венгерский математик Петцваль достиг большого успеха в решении этой проблемы, добавив в формулы Гаусса члены, содержащие более высокие степени углов наклона лучей относительно оси, К сожалению, его обширная монография, посвященная этому вопросу, была уничтожена ворами; все, что известно об его работе, содержится в полупопулярных статьях [1, 2]. Петцваль доказал практическую ценность своих вычислений, изготовив в 1840 г. широко известный портретный объектив (показанный на рис. 6.3, б), обладавший многими преимуществами по сравнению с известными тогда объективами. Наиболее раннее систематическое исследование геометрических аберраций, которое было полностью опубликовано, принадлежит Зайделю [3—5]; он учел все члены третьего порядка при рассмотрении общего случая центрированной системы, состоящей из сферических поверхностей. С гех пор это исследование было обобщено и упрощено многими авторами.

Поскольку волновые фронты ортогональны лучам, то при отклонении пучка лучей, формирующих изображение, от гомоцентричности форма соответствующих волновых фронтов отличается от сферической. Знание формы волновых фронтов играет существенную роль при более строгом исследовании аберраций, основанном на теории дифракции (см. гл. 9). По этой причине, а также из-за тесной связи между негомоцептричпостыо пучков и асферичностью соответствующих волновых фронтов мы будем рассматривать их совместно. Наше изложение будет частично основано на важной работе Шварцшильда [6], несколько упрощенной с этой целью.

§ 5.1. Волновые и лучевые аберрации; функция аберраций

Рассмотрим вращательно-симметричную оптическую систему. Пусть — точки пересечения луча, выходящего из точки предмета соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плоскостью параксиального изображения. Если -параксиальное изображение точки , то вектор называется аберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 5.1).

Пусть — волновой фронт, проходящий через центр выходного зрачка и связанный с пучком, который формирует изображение и выходит из точки Если аберрации отсутствуют, то совпадает со сферой центр которой лежит в точке параксиального изображения Р, а сама она проходит через точку называется опорной сферой Гаусса (рис. 5.2).

Рис. 5.1. Плоскость предмета, плоскость изображения и плоскости зрачков.

Пусть и — точки пересечения луча с опорной сферой и волновым фронтом соответственно. Оптическую длину пути можно назвать аберрацией волнового элемента в точке или просто волновой аберрацией и считать положительной, если и Р, расположены по разные стороны от . В обычных приборах волновые аберрации достигают 40—50 длин волн, однако в приборах, используемых для более точных исследований (например, в астрономических телескопах или микроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.

Рис. 5.2. Волновая и лучевая аберрации.

Выражения для волновой аберрации легко получить с помощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.

Если, как и раньше, пользоваться для обозначения оптической длины пути квадратными скобками то

Здесь было использовано то обстоятельство, что точки и лежат на одном волновом фронте, т. е.

Введем две прямоугольные системы координат со взаимно параллельными осями, начала которых находятся в осевых точках плоскостей предмета и изображения, а оси совпадают с осью системы. Точки в пространстве предмета будут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения — во второй. - координаты плоскостей, в которых лежат зрачки, обозначены через и (на рис. 5.1 ).

Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную характеристику V следующим образом:

где координаты точки и — координаты точки Координаты уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим, что точке лежит на опорной сфере, т. е.

Здесь

— координаты точки параксиального изображения, М — гауссово поперечное увеличение и — радиус опорной сферы Гаусса

Величину в выражении (2) можно исключить с помощью (3), в результате чего Ф станет функцией только , т. е.

Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций простыми соотношениями. Из (2) имеем

Если углы, которые образуют луч с осями, а координаты точек и то, согласно (4.1.7) и рис. 5.2, получим

где

есть расстояние от до показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3) имеем

Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевой аберрации

и аналогично

Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина сама зависит от координат точки т. е. от лучевых аберраций Тем не менее для большинства практических целей можно заменять на радичс опорной сферы или на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Ф зависит четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: . В самом деле, если ввести в плоскостях полярные координаты, т. е. положить

то окажется, что Ф зависит только от или, что то же самое, Ф зависит от . Предположим теперь, что оси X и Y систем с началами в поворачиваются на один и тот же угол и в одном и том же

направлении относительно оси системы. При этом не изменяются, а угол О увеличивается на угол поворота. Поскольку функция Ф инвариантна относительно таких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависит только от . Следовательно, функция аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений

двух векторов .

Отсюда вытекает, что при разложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени буду отсутствовать. Поскольку то членов пулевой степени тоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречит тому, что является параксиальным изображением точки Таким образом, наше разложение имеет вид

где с — константа, а — полином степени по координатам и содержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что член степени описывает волновую аберрацию порядка Аберрации наинизшего порядка обычно называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя они будут подробно рассмотрены в § 5.3.

Для оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр Этим параметром может служить любая величина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можно допустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы , где символ означает, что величина угла порядка

Оценим погрешность, возникающую при замене в основном уравнении (10) на величины, не зависящие от Из (3) и (5) имеем

тогда вместо (8) можем написать

Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид