14.2.2. Формулы Френеля для распространения света в кристаллах.

Формулы, полученные в п. 14.2.1, являются следствием одних лишь уравнений Максвелла и поэтому не зависят от свойств среды. Объединим их теперь с материальными уравнениями (14.1.1).

Выберем в качестве осей координат главные диэлектрические оси. Тогда соотношения (14.1.1) примут более простую форму (14.1.12), и, подставляя в (4), получим

Уравнения (18), которые представляют собой три линейных однородных уравнения для допускают нетривиальное решение только тогда, когда соответствующий определитель обращается в нуль. Это означает, что между показателем преломления вектором и ьтавными диэлектрическими проницаемостями должно выполняться определенное соотношение, которое можно получить, записав уравнение (18) в виде

умножив его на и сложив три полученных уравнения. Разделив окончательное выражение на общий множитель найдем

Это соотношение можно представить в несколько ином виде. Умножим обе части (20) на и вычтем Затем, умножив получившееей выражение на найдем

Определимтри главные скорости распространения с помощью формул

Если для фазовой скорости использовать выражение (7), то (19) и (21) принимают вид

Уравнения (20), (21) и (24) являются эквивалентными формами уравнения волновых нормалей Френеля. Это уравнение квадратично относительно что легко показать, умножив (24) на произведение знаменателей. Таким образом, каждому направлению соответствуют две фазовые скорости (Два значения , соответствующие, любому значению считаются одним, так как отрицательное значение, очевидно, принадлежит противоположному направлению распространения — Для каждого из двух значений из уравнений (23) можно определить отношения соответствующие отношения, содержащие вектор можно затем получить из (14.1.12). Так как эти отношения вещественны, поля Е и линейно поляризованы. Таким образом, мы получили важный результат, а именно: структура анизотропной среды допускает пространение в любом данном направлении двух монохроматических плоских волн, линейно поляризованных в двух разных направлениях и обладающих различными скоростями. Позднее будет показано, два направления вектора электрического смещения соответствующие данному направлению распространения перпендикулярны друг к другу.

Покажем, что аналогичную формулу можно вывести и для лучевой скорости V. Это легко сделать, показав сначала, что справедливо соотношение, аналогичное (4), в котором заменено на Е и и наоборот. Удобно ввести

вектор который определяется как векторная компонента перпендикулярная к и лежащая в плоскости векторов и Этот вектор, очевидно, равен

Так как электрический вектор Е тоже перпендикулярен к и компланарен с (см. рис. 14.1), то параллелен Е и, значит, его можно представить

где использовано выражение (15). Из последних двух соотношений следует, что

Это уравнение аналогично уравнению (4) и формально его можно получить при взаимозамене . Из основных уравнений вытекает совершенно общее правило взаимного соошветсшия.

Расположим все интересующие нею переменные в два ряда:

Тогда, если в любом соотношении, которое связывает величины, приведенные в одном ряду, заменить все параметры соответствующими параметрами из другого ряда, то полученное соотношение также будет справедливо.

Применив это правило к уравнению волновых нормалей Френеля (24), мы немедленно получим искомое лучевое уравнение

Конечно, это уравнение можно записать в форме, аналогичной (20) и (21). Уравнение (29), как и (24), квадратично относительно и для каждого направления луча дает две возможные лучевые скорости Соответствующее направление вектора можно определить, решая при каждом значении уравнение, эквивалентное (23), а именно

Затем, используя (14.1.12), можно найти направления обоих векторов Е (которые, как мы видели, перпендикулярны к

Как правило, задается лишь один из векторов или поэтому желательно вывести соотношения, с помощью которых можно было бы прямо найти неизвестный вектор. Из рис. 14.1 имеем

Но, согласно (4), . Следовательно, используя (7) и (9), находим

Подстановка (32) в (30) дает

Сравнивая (33) с (23) и учитывая, что получим

Решая относительно найдем

так что

Возводя в квадрат и складывая три уравнения (36), а затем используя соотношение (9), т. е. получим

Следовательно, мы можем написать

Это соотношение выражает через так как зависимость от уже известна из уравнения Френеля (24). Определив таким образом получим из уравнения (35) единичный вектор как функцию Используя выражение для можно представить уравнение (35) в виде

Так как каждому вектору в общем случае соответствуют две фазовые скорости то для каждого направления волновой нормали имеется два направления луча Однако в некоторых кристаллах (двухосные кристаллы, см. п. 14.3.1) существуют два особых направления, которым вследствие исчезновения знаменателей в (39) соответствует бесконечное число лучей. Существуют также два особых направления луча, каждому из которых соответствует бесконечное число направлений волновых нормалей. Эти специальные случаи обусловливают интересное явление (коническая рефракция), которое будет рассмотрено в п. 14.3.4.