4.2.3. Стигматическое отображение поверхностей.

До сих пор мы рассматривали только идеальное, и резкое, изображение трехмерных областей. Было показано, что если пространство предмета и пространство изображения однородны и обладают одинаковыми показателями преломления, то идеальное отображение должно быть только тривиальным, т. е. зеркальным отображением предмета Естественно, возникает вопрос, получается ли нетривиальное отображение, если потребовать, чтобы прибор обеспечивал идеальное (или по крайней мере резкое) отображение лишь некоторых поверхностей. Этим вопросом занимался ряд авторов [27—30], которые нашли, что если пространства предмета и изображения однородны, то вращагпельно симметричная оптическая система о общем случае может обеспечить резкое отображение не более чем

двух поверхностей. Доказательство этой теоремы можно найти в работах [27, 29]. Здесь мы подробно рассмотрим только простой случай резкого отображения сферической поверхности, представ тяющии наибольший практический интерес.

Исследуем преломление лучей на поверхности твердой однородной сферы находящейся в однородной среде. Пусть О—точка, где расположен цешр сферы, ее радиус и — показатели преломления соответственно материала сферы и окружающей ее среды. Далее пусть луч, падающий на сферу. С помощью следующих рассуждений легко определить направление преломленного луча

Пусть и — сферы, центры которых находятся в О, а радиусы равны

Если — точка пересечения с — точка, в которой пересекаются то является преломленным лучом.

Рис. 4.9. Преломление на сферической поверхности. Апланатические точки.

Последнее следует из построения (рис. 4.9), гак как

Кроме того,

Таким образом, треугольники подобны, и, следовательно,

где — соответственно углы падения и прелолпения. Величины углов удовлетворяют закону преломления, и поэтому прямая представляет собой преломленный луч.

Из построения видно, что все лучи, выходящие из точки на дают (виртуальное) стигматическое изображение в точке расположенной в месте пересечения радиуса со сферой Следовательно, сфера представляет собой стигматическое изображение и наоборот.

Удобно выразить (24) в несколько иной форме. Если обозначить через , углы, которые сопряженные лучи образуют с линией то, поскольку рассмотренные выше треугольники лодобны, следовательно,

Уравнение (25) чвляется частным случаем так называемого условия синусов, значение которого будет объяснено в § 4.5. Согласно терминологии, принятой

Б § 4.5, точки называются апланатическими точками сферической поверхности .

Как будет показано в § 6.6, при конструировании некоторых видов объективов микроскопов используется существование апланатических точек преломляющей сферической поверхности.