9.2.2. Разложение функции аберраций.

Следуя Нижберу, разложим функцию аберраций Ф по круговым полиномам Цернике Ил симметрии задачи вытекает, как и в § 5.1, что разложение содержит лишь комбинации переменных, а именно так что оно должно иметь вид

где неотрицательные целые числа, - четное число и постоянные.

Поскольку нас будет интересовать главным образом дифракционное изображение фиксированной точки предмета удобно не выделять явную зависимость Ф от и переписать (11) в виде

Коэффициенты зависят от , а множитель 1/12 введен перед вторым членом для упрощения окончательных формул.

Если аберрации достаточно малы, то с помощью коэффициентов А можно выразить нормированную интенсивность в параксиальном фокусе в просшй форме. Подставляя (12) в (9.1.21) и используя условие ортогональности (3), получим

Из первого соотношения следует, что характеризует среднее запаздывание волнового фронта относительно опорной сферы Гаусса. Второе соотношение представляет собой «формулу Парсеваля» для ортогональной системы функций Подставляя (12) в уравнение (9.1.22), получим для нормированной интенсивности в параксиальном фокусе

При решении важной проблемы «сбалансирования» аберраций различных порядков друг относительно друга с целью получения максимальной интенсивности проявляются преимущества разложения но круговым полиномам. Предположим, что аберрация описывается одним членом «степенного ряда», а именно

где А — малая постоянная (порядка длины волны или меньше). Спрашивается, можно ли увеличить интенсивность если ввести аберрации более низких порядков. Или, боле» точно, можно ли так подобрать постоянные в выражении

чтобы интенсивность в параксиальном фокусе была как можно больше.

При любом выборе постоянных функцию аберрации (16) можно также представить с помощью круговых полиномов

где

Коэффициент при наивысшей степени в (16), т. е. при равен, согласно (5), ; тогда, сравнивая коэффициенты при в (16) и (17), получим

Если коэффициент а следовательно, фиксирован, то, согласно (14), максимальная интенсивность в точке получается, когда все коэффициенты иод знаком суммы в (17) тождественно равны пулю. Тогда функция аберраций принимает вид

а интенсивность в становится равной

где выражается через помощью (19). Теперь очевидно, что в одном аберрационном члене разложения (12) несколько членов вида или 0 скомбинировалось таким образом, что при данном (достаточно малом) значении коэффициента при нормированная интенсивность в параксиальном фокусе максимальна.

Проиллюстрируем полученный результат простым примером. Предположим, что оптическая система создает небольшую сферическую аберрацию шестого порядка но мы можем ввести контролируемые величины сферической аберрации четвертого порядка и дефокусировки Требуется найти значения при которых интенсивность в дифракционном фокусе максимальна. Задача такого рода была впервые рассмотрена Рихтером [24], который показал, что максимум интенсивности достигается при

Если взглянуть на табл. 9.1, то мы увидим, что эти отношения в точности равны отношениям соответствующих коэффициентов полинома т. е.

Таким образом, в случае достаточно малых аберраций введение круговых полиномов Цернике автоматически решает задачу «сбалансирования» аберраций в указанном смысле; более того, с помощью теоремы смещения можно определить положение дифракционного фокуса.