интеграл
Задача состоит в следующем: найти такие функции 
для которых интеграл 
не зависит от формы кривой С, а определяется лишь положением концевых точек и 
где 
имеет координаты 
— координаты 
Величина 5 называется интегралом Гильберта.
Для определения и и 
перепишем (11) в виде
где
Хорошо известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы (12) не зависел от формы кривой интегрирования С, служит обращение в нуль компонент ротора от вектора А, с проекциями 
т. е.
Мы получили систему из трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно а 
; эти уравнения, однако, не вполне независимы, поскольку для любых 
справедливо тождество 
для любого вектора 
Если уравнения (14) удовлетворяются, то 
является полным дифференциалом, т. е.
и 
зависит только от 
Написав для простоты 
вместо 
получим
Возьмем теперь произвольную поверхность 
и в каждой ее точке 
проведем нормальный к ней вектор 
Тогда, согласно (16), 
, следовательно, величина
постоянна на этой поверхности. Из двух (совместных) уравнений (13) можно определить и и 
как функции координат поверхности; имеем
Если теперь решить дифференциальные уравнения (14) с такими граничными условиями, то мы падучим частное решение рассматриваемой задачи, а именно решение, принимающее постоянное значение 
на выбранной поверхности 
. Его можно получить из одного дифференциального уравнения в частных производных относительно функции 
Подставляя (19) в оставшееся уравнение (13), находим
или, используя (17),
Это уравнение называется уравнением Гамильтона — Якоби данной задачи.
Функция 
, принимающая постоянное значение на поверхности 
и удовлетворяющая уравнению (21), служит решением рассматриваемой задачи. Функции 
обусловливающие независимость интеграла от пути интегрирования, находят из решения любых двух из (совместных) уравнений
полученных комбинированием (13) и (17).
т. е.
и ее частные производные 
зависят только от 
Далее выберем кривую 
и образуем.
