§ 7.2. Интерференция двух монохроматических волн

Интенсивность света определялась как усредненное по времени количество энергии, пересекающее единицу площади, перпендикулярной к направлению потока энергии, в единицу времени. Для плоской волны, согласно (1.4.8) и (14.9), имеем

В гл. 3 мы видели, что эти соотношения справедливы, по крайней мере как приближения, и для волн более общего типа. Так как мы будем сравнивать интенсивности в одной и той же среде, можно считать величину мерой интенсивности. Большей частью мы будем иметь дело с монохроматическим полем, и поэтому представим электрический вектор Е в виде

Здесь А - комплексный вектор с декартовыми компонентами

где - вещественные функции. Для однородной плоской волны амплитуды постоянны, тогда как фазовые функции имеют вид , где k — волновой вектор, а фазовые постоянные, определяющие состояние поляризации. Из (2) имеем

Отсюда, усредняя по времени в интервале, большом по сравнению с периодом , находим

Предположим теперь, что в некоторой точке Р происходит суперпозиция двух монохроматических волн Результирующее электрическое поле в Р имеет вид

и, следовательно,

Таким образом, полная интенсивность в точке Р равна

где

- интенсивности каждой из волн, а

— интерференционный член. Пусть А и В — комплексные амплитуды волы, причем

Вещественные фазы и обеих волн будут, вообще говоря, различны, так как волны приходят в Р разными путями, но если условия эксперимента таковы, что между соответствующими компонентами возникла одна и та же разность фаз 6, то

Здесь оптическая разность хода двух волн от общего источника до Р, а Х — длина волны в вакууме. Выражая произведение через А и В, найдем

и, следовательно,

Это выражение показывает зависимость интерференционного члена от амплитуд компонент и разности фаз обеих волн.

При выводе (13) мы не воспользовались электромагнитной теорией и, в частности, тем, что колебания поперечны. Как уже упоминалось в «Историческом введении», Френель и Араго показали, что два световых пучка, поляризованных под прямым углом друг к другу, не интерферируют и, следовательно, световые колебания должны быть поперечными. Это заключение легко вывести из (13), Предположим, что две волны распространяются в направлении и электрический вектор первой волны лежит в плоскости а второй — в плоскости Тогда и из (13) находим для интерференционного члена

Так как наблюдения Френеля и Араго показали отсутствие интерференции при таких условиях, мы должны заключить, что т. е. электрические векторы обеих волн перпендикулярны направлению . Следовательно, световые волны должны быть поперечными, что полностью согласуется с нашими прежними выводами из электромагнитной теории.

Рассмотрим распределение интенсивности в результате суперпозиции двух волн, распространяющихся в направлении оси пусть они линейно поляризованы и вектор Е направлен по оси х. Тогда

используя (5), (9а) и (13), находим

Тогда полная интенсивность, согласно (8), имеет вид

Очевидно, максимумы интенсивности равны

а минимумы интенсивности равны

В особом случае соотношение (15) переходит в

и интенсивность изменяется от минимального значения до максимального значения (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Изменение интенсивности в зависимости от разности фаз при интерференции двух пучкоо равной интенсивности.

Эти формулы справедливы также и для естественного неполяризованного света, поскольку ниже (см. п. 10.8.9) будет показано, что пучок естественного света можно рассматривать как результат суперпозиции двух некогерентных пучков, линейно поляризованных под прямым углом друг к другу (например, по направлению . В этом случае интерференцию между и компонентами следует рассматривать отдельно, и полная интенсивность получается сложением отдельных интенсивностей, а так как 6 Одинакова, в каждом; случае, то мы и находим приведенную выше формулу.