ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА

В настоящем приложении приводится сводка основных свойств дельтафункции, которая оказалась полезной при описании точечных источников, точечных зарядов и т. д. Эта функция, используемая особенно часто как в квантовой механике, так и в классической прикладной математике, определяется с помощью следующих уравнений:

Очевидно, что не является функцией в обычном математическом смысле

поскольку, если функция равна нулю везде, за исключением одной точки, а интеграл от нее существует, то этот интеграл обязательно должен равняться нулю.

Рассмотрим набор функций которые при увеличении отличаются заметно от нуля лишь на все меньшем и меньшем -интервале около начала координат, а их интеграл для всех значений равен - единице; т. е.

Такими функциями служат, например, следующие (рис. 8):

Рис. 8. К определению дельта-фуккции Дирака. Графики функции при Полная площадь под каждой кривой равна единице.

Соблазнительно попытаться определить дельтафункцию Дирака как предел функций (3) при однако следует иметь в виду, что такой предел существует не при всех х. Предел же

существует всегда и равен, единице. Будем интерпретировать любую операцию над как операцию над какой-то из соответствующего набора, например из (3), с последующим нахождением предела при в конце вычислений. Очевидно, что при такой интерпретации соотношение (16) выполняется. Явный вид функций несуществен при условии, что их колебания (если они существуют) около начала координат не слишком резки.

Важным свойством дельта-функции Дирака является следующее:

Здесь — любая непрерывная функция х. Справедливость (5) сразу же становится очевидной, если заменить на и исследовать доведение интеграла при больших значениях Ясно, что при

существенно зависит от значений в окрестности точки и погрешность, возникающую при замене на можно сделать пренебрежимо малой, взяв достаточно большое Используя затем (16), получим (5). Отсюда следует, что умножение непрерывной функции на и последующее ее интегрирование по всем значениям х эквивалентно замене ее аргумента на а.

Фактически тот же результат получится, если интегрировать функцию не от до по любой области, содержащей точку . Полученный результат можно символически записать еще и в виде

при такой записи мы видим, что правая и левая части (7) дают одинаковый результат после интегрирования. В частности, при соотношение (7) дает

Аналогичным образом легко доказать справедливость следующих выражений:

Для доказательства справедливости, например, (10) сравним интегралы от Имеем

где второй интеграл берется со знаком плюс или минус в зависимости от того, положительно ли а, отрицательно или равно 0. Из (5) следует, что

Как мы видим, эти интегралы совпадают, что и означает справедливость (10). Аналогично соотношение (12) означает, что если умножить обе его части на непрерывную функцию от а или и проинтегрировать соответственно но всем значениям а или то мы получим тождество.

Выясним далее, как можно интерпретировать производные от дельта-функции. Используя «аппроксимирующие функции» и интегрируя по частям, получим

При переходе к пределу при первые два члена в правой части исчезают и мы имеем

Повторяя этот процесс, найдем

Легко доказать справедливость следующих соотношений:

Часто оказывается удобным (см., например, приложение 6) выразить дельта-функцию Дирака через единичную функцию Хевисайда (называемую иногда ступенчатой функцией) определяемую соотношениями

Если, как и раньше, обозначить штрихом производную по х, то, интегрируя по частям (при формально получим

Полагая и переходя к пределу имеем

т. e. U обладает свойством (5). В частности, при находим

следовательно, удовлетворяет соотношению (16). Более того, когда Таким образом, производную от едииичной функции можно идентифицировать с дельта-функцией, т. е.

Дельта-функцию можно также ввести с помощью интеграла Фурье

Полагая

и изменяя порядок интегрирования, соотношение (19) можно формально представить в виде

где есть предел при . Строго говоря, такой предел в обычном смысле не существует при однако (21) имеет такой же смысл, как и ранее рассмотренные интегралы, т. е.

Таким образом, К обладает свойством (5). Полагая в (21), находим, что интеграл от взятый по всем значениям х, равен единице.

Следовательно, мы получили еще одно представление дельта-функции Дирака, а именно

можно рассматривать как фурье-образ от единицы. Существует и обратное соотношение, получающееся из (21), если положить и именно

До сих пор мы рассматривали лишь одномерное пространство, но все найденные соот ношения легко обобщить на случай нескольких измерений. В частности, рассмотрим трехмерное пространство. Тогда функция

обозначаемая часто через где — вектор с компонентами удовлетворяет, очевидно, соотношениям, аналогичным (1), т. с.

Свойство (5) можно представить теперь в виде

и удовлетворяет обратным преобразованиям Фурье