2.1.2. Запаздывающие потенциалы.

Рассмотрим решения неоднородных волновых уравнений (11) и (12) для векторного и скалярного потенциалов, подчиняющиеся соотношению (10), и покажем вначале, что этим уравнениям

удовлетворяют следующие функции:

Здесь

— расстояние между точкой и точкой элемента объема Интегрирование проводится по всему пространству.

Чтобы убедиться в том, что (22) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению для скалярного потенциала, мы вообразим, что точка окружена сферой радиуса а с центром в этой точке, и разделим (22) на две части

где вклад и интеграл от внутренней части сферы, а вклад от остальной части пространства. Так как для каждой точки вне сферы, то можно продифференцировать под знаком интеграла. Тогда прямым расчетом легко убедиться, что удовлетворяет однородному волновому уравнению

При этом ясно, что представляет суперпозицию ряда сферических волн (см. уравнение (1.3.12)). В случае мы должны, однако, поступить иначе, так как подынтегральное выражение имеет особенность в центре сферы

Заметим, что, выбрав радиус сферы достаточно малым, можно добиться того (при условии, что — непрерывная функция чтобы для всех точек пнутри сферы отличалось от на величину, меньшую любого наперед заданного значения. Следовательно, когда радиус а стремится к нулю, будет все более и более приближаться к значению, соответствующему электростатическому потенциалу равномерно заряженной сферы с плотностью заряда т. е. для достаточно малых а имеем

Аналогично когда . В самом деле, если а достаточно мало, мы можем написать

а эта величина стремится к нулю при уменьшении а. Следовательно, из вытекает, что при

так что (22) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению для скалярного потенциала. Совершенно аналогичным способом можно показать, что каждая из декартовых компонент вектора (21) является решением соответствующего скалярного волнового уравнения, неоднородный член которого содержит вместо соответствующую компоненту вектора . Следовательно, (21) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению для векторного потенциала. Более того, в силу справедливости уравнения непрерывности (13) эти решения удовлетворяют также условию Лорентца (10).

Выражения (21) и (22) допускают простую физическую интерпретацию. Они показывают, что мы можем считать А и состоящими из вкладов от каждого элемента объема пространства, причем вклады от произвольного элемента

составляют соответственно

Величина в точности равна времени, необходимому для распространения света от точки до так что каждый вклад должен «покинуть» элемент в такой предыдущий момент времени, чтобы «достичь» точки наблюдении в требуемое время По этой причине (21) и (22) называют запаздывающими потенциалами.

Выражения (21) и (22) представляют собой частное решение волновых уравнений (11) и (12), а именно такое, которое получается при заданных зарядах и токах. Общее решение можно найти, если добавить к нему общее решение однородных волновых уравнений

также подчиняющееся условию Лорентца.