5. Канонические уравнения Гамильтона.
Каждое из уравнений Эйлера (7) является дифференциальным уравнением второго порядка. Иногда оказывается удобным заменить их четырьмя дифференциальными уравнениями первого порядка. Такую замену можно провести многими способами. Наиболее симметричный способ дает так называемые канонические уравнения Гамильтона, которые выводятся следующим образом.
Соотношения (13) рассматриваются как преобразования Лежандра (см. 
стр. 139), заменяющие переменные 
на 
(сохраняя 
) и функцию 
на 
. Последнее уравнение (13) можно представить в виде
тогда
Далее
Следовательно,
Поскольку 
нужно считать функцией 
то
Если рассматривать теперь кривую 
которая удовлетворяет уравнениям
то эти уравнения совместно с уравнениями Эйлера (7) можно записать в виде
Соотношения (40) представляют собой четыре дифференциальных уравнения первого порядка относительно 
как функций 
и называются каноническими уравнениями Гамильтона. Их можно рассматривать как уравнения Эйлера для вариационного интеграла, выраженные через функцию 
. Если подставить (37) и (39) в (1), то вариационный интеграл запишется в виде
Если считать теперь 
четырьмя неизвестными функциями 
и написать для каждого из них уравнение Эйлера, то в результате мы получим 
