1.4.2. Гармоническая электромагнитная плоская волна.

Особый интерес представляет случай плоской волны гармонической во времени, т. е. случай, когда каждая из декартовых компонент векторов Е и Н имеет вид

Здесь обозначает переменную часть фазового множителя, т. е.

Выберем ось в направлении Тогда отличными от нуля будут лишь - компоненты Е и Н, поскольку, в соответствии с (5), поле поперечно. Ниже мы рассмотрим характер кривой, которую описывает конец электрического вектора в произвольной точке пространства. Эта кривая является геометрическим местом точек, координаты которых равны

а. Эллиптическая поляризация. Для того чтобы исключить из первых двух уравнений (12), перепишем их в виде

Следовательно,

Возводя в квадрат и складывая, получим

где

Соотношение (15) является уравнением конического сечения. Оно имеет форму эллипса, так как соответствующий детерминант неотрицателен, т. е.

Этот эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и имеют длины (рис 1.6).

Эллипс касается сторон прямоугольника в точках

Рис. 1.6. Эллиптически поляризованная волна Эллипс соответствующий ко лебанию электрического вектора

В этом случае говорят, что волна, описываемая (12), эллиптически поляризована. Легко видеть, что волна, связанная с магнитным вектором, также поляризована эллиптически. Из (4) и (12) следует

Конец магйитного вектора описывает эллипс, который вписан в прямоугольник сторонами длиной параллельными осям х и у.

В общем случае оси эллипса не параллельны осям Пусть и новые оси, направленные по осям эллипса, — угол между и направлением главной оси (см. рис. 1.6). Тогда компоненты и Е будут связаны с соотношениями

Если — длины осей эллипса, то уравнение эллипса относительно осей будет иметь вид

Наличие двух знаков указывает на возможность двух направлений движения конца электрического вектора, описывающего эллипс.

Чтобы определить а и сравним (18) и (19) и используем (13); тогда

Приравнивая коэффициенты при получим

Возводя в квадрат, складывая (20а) и (206) и используя (16), находим

аналогично из (21а) и (216) имеем

Следовательно,

Умножим теперь (20а) на (21а), (206) на (216) и сложим. Это даст

Деля (21а) на (20а) и (216) на (206), получим

Отсюда находим следующее уравнение для

Удобно ввести такой вспомогательный угол чтобы

Тогда предыдущее уравнение примет вид

т. е.

Из (23) и (24) мы найдем также

Пусть — другой вспомогательный угол, такой что

Численное значение определяет величину отношения осей эллипса, а знак при х характеризует два варианта, которые можно использовать при описании эллипса. Перепишем уравнение (27) в виде

Полезно кратко просуммировать результаты Если заданы и разность фаз , относящиеся к произвольному положению осей, и если — угол, определяемый соотношением

то главные полуоси эллипса угол который большая ось образует с осью находятся из формул

где вспомогательный угол, определяющий форму и ориентацию эллипса колебаний, а именно

Наоборот, если известны длины осей и ориентация эллипса заданы то эти формулы позволяют найти амплитуды и разность фаз .

В гл. 14 будут описаны устройства, которые дают возможность определять эти величины прямым способом.

Прежде чем перейти к обсуждению некоторых важных специальных случаев, необходимо сказать несколько слов о терминологии. Мы различаем, две поляризации в соответствии с направлением, в котором конец электрического вектора описывает эллипс. По-видимому, естественно было бы называть, поляризацию правой или левой в соответствии с тем, образует ли вращение Е и направление распространения правый или левый винт. Однако принята прямо противоположная терминология: она основана на картине поведения вектора Е, когда его движение «рассматривается» наблюдателем со стороны положительного направления движения. В настоящей книге мы будем следовать именно такому определению. Итак, будем называть поляризацию правой, когда наблюдателю, смотрящему навстречу световому лучу, кажется, что конец электрического вектора описывает эллипс, двигаясь по часовой стрелке. Если для этого случая мы найдем значения величин (12) для двух моментов времени, отличающихся на четверть периода, то увидим, что или, согласно (29), . Для левой поляризации справедливо обратное, т. е. наблюдателю, смотрящему навстречу световому лучу, кажется, что электрический вектор описывает эллипс, двигаясь против часовой стрелки. В этом случае , так что .

По причинам исторического характера, направление магнитного вектора часто называют направлением поляризации, а плоскость, в которой лежат магнитный вектор и направление распространения, — плоскостью поляризации. Однако такая терминология совсем не общепринята; некоторые авторы определяют эти величины не относительно магнитного, а относительно электрического вектора. Нарушение единообразия возникает частично из-за отсутствия одного единственного физического понятия, которое можно было бы однозначно считать «световым вектором». Когда особое внимание уделяется физическому действию векторов поля, действительно имеются некоторые основания считать световым вектором век тор Е. В самом деле, любое действие есть следствие движения элементарных заряженных частиц (электронов, ядер), приведенных в движение электромагнитным полем. В этом случае механическая сила действующая на частицу со стороны поля, определяется законом. Лорентца (см. (1.1.34))

где — заряд, — скорость частицы. Следовательно, электрический вектор будет действовать даже на покоящуюся частицу. Вместе с тем магнитный вектор влияет лишь на движущуюся частицу. Однако обычно очень мало по сравнению с единицей, и этим эффектом часто можно пренебречь. Тем не менее «направление поляризации» и «плоскость поляризации», как правило, связывают с магнитным вектором. Причина выбора такой терминологии станет ясной в следующем разделе при рассмотрении поляризации при отражении.

Чтобы избежать путаницы, мы, в соответствии с практикой последнего времени, не будем пользоваться терминами «направление поляризации» или «плоскость поляризации», а будем говорить о направлении колебаний и плоскости колебаний, чтобы указать направление вектора поля и плоскость, содержащую вектор поля и направление распространения, причем в каждом случае будем оговаривать, о каком именно векторе идет речь.

б. Линейная и круговая поляризации. Наиболее важны два специальных, случая, когда эллипс поляризации вырождается либо в прямую, либо в окружность.

Согласно (12) эллипс перейдет в прямую при

Тогда

и мы говорим о линейной поляризации Е. Одну из координатных осей, например х, можно выбрать вдоль этой прямой. Тогда остается лишь одна компонента, а именно Более того, поскольку электрический и магнитный векторы ортогональны и лежат в плоскости, перпендикулярной к направлению компонента тоже исчезает, и, следовательно, вектор Н линейно поляризован в направлении у.

Другой важный специальный случай — случай круговой поляризации волны, когда эллипс вырождается в круг. Ясно, что необходимое условие этого заключается в превращении описанного прямоугольника в квадрат, т. е.

Кроме того, одна из компонент вектора Е должна равняться нулю, когда другая достигает максимального значения; отсюда следует, что

и уравнение (15) переходит в уравнение окружности

В случае правой поляризации так что

Для левой поляризации так что

Если вместо вещественного представления используется комплексное .-(т. е. если вместо косииусов в (12) написаны экспоненциальные функции), то

и из значения этого отношения сразу же можно определить характер поляризации.

а) Линейная поляризация электрической волны

б) Правая круговая поляризация электрической волны

в) Левая круговая поляризация электрической волны

В более общем случае можно показать, что для правой эллиптической поляризации мнимая часть отношения положительна, тогда как для левой эллиптической поляризации она отрицательна.

На рис. 1.7 показаны эллипсы поляризации при разных значениях

в. Характеристика состояния поляризации с помощью параметров Стокса. Для характеристики эллипса поляризации необходимы три независимые величины, например амплитуды и разность фаз или малая и большая оси и угол характеризующий ориентацию эллипса. Для практических целей состояние поляризации удобно охарактеризовать некоторыми параметрами, обладающими одинаковой физической размерностью; они были введены Стоксом в 1852 г. при его исследованиях частично поляризованного света. В общем виде мы определим их позднее (см. п. 10.8.3). Там мы покажем также, что для любой заданной волны эти параметры можно определить из простых экспериментов.

Рис. 1.7. Эллиптическая поляризация при различных значениях разности фаз .

Параметрами Стокса для плоской монохроматической волны служат четыре величины:

Лишь три из них независимы, так как справедливо тождество

Очевидно, что параметр пропорционален интенсивности волны. Параметры простым образом связаны с углом характеризующим ориентацию эллипса, и углом характеризующим эллиптичность и направление вращения. Выполняются следующие соотношения:

Выражение следует из (25) и (29). Для вывода двух других соотношений заметим, что, согласно уравнению, предшествующему (26),

Соотношение (45а) получается, если выражения (46) и (45в) подставить в (44). Наконец, (456) получается при подстановке (45а) в (46).

Рис. 1.8 Представление состояния поляризации монохроматической волны по Пуанкаре (сфера Пуанкаре).

Выражения (45) указывают простое геометрическое представление различных состояний поляризации: и можно рассматривать как декартовы координаты точки Р на сфере 2 радиуса причем являются сферическими угловыми координатами этой точки (рис. 1.8). Таким образом, каждому возможному состоянию поляризации плоской монохроматической волны заданной интенсивности соответствует одна точка на сфере 2 и наоборот. Так как угол х положителен или отрицателен в зависимости от того, имеем ли

мы дело с правой или левой поляризацией, то из (45в) следует, что правая поляризация представляется точками на 2, лежащими выше экваториальной плоскости (плоскости ху), а левая — точками на , лежащими ниже этой плоскости. Далее, для линейно поляризованного света разность фаз равна нулю или целому кратному согласно (43) параметр Стокса равен тогда нулю, так что линейная поляризация представляется точками на экваториальной плоскости. Для круговой поляризации или в соответствии с тем, имеем ли мы дело с правой или левой поляризацией. Следовательно, правая круговая поляризация представляется северным полюсом , а левая поляризация — южным полюсом Такое геометрическое представление различных состояний поляризации точками на сфере было предложено Пуанкаре [17]. Оно чрезвычайно полезно в кристаллооптике для определения влияния кристаллических сред на состояние поляризации проходящего через них света. Сфера называется сферой Пуанкаре.