§ 10.5. Некоторые приложения

10.5.1. Степень когерентности в изображении протяженного некогерентного квазимонохроматического источника.

Прежде чем переходить к изучению образования изображения в частично когерентном свете, полезно рассчитать степень когерентности в изображении протяженного некогерентного источника, полученном с помощью центрированной оптической системы. Конечная степень корреляции между колебаниями в плоскости изображения возникает из-за что свет от каждой точки источника не собирается в одну точку, а распределяется по конечной площадке, вследствие дифракции (а в общем случае и аберраций). Некоторые из таких «площадок» перекрываются, поэтому в интенсивности в достаточно близких друг к другу точках в плоскости изображения вносится как когерентный, так и некогерентный вклад.

Предположим, что а — однородный квазимонохроматический некогерентный источник в виде круга радиуса излучающий свет со средней (в вакууме) длиной волны и расположенный в пространстве предмета в однородной среде с показателем преломления Пусть далее — расстояние между плоскостью предмета и плоскостью входного зрачка. Соответствующие величины в пространстве изображения мы будем обозначать теми же символами со штрихом.

Обозначим через расстояние между двумя точками входного зрачка. Предположим, что и где О - центральная точка источника. В этом случае комплексная степень когерентности в соответствии с (10.4.28) равна

где — угол, под которым радиус источника виден из центра входного зрачка (рис. 10.10).

Комплексную степень когерентности для любой пары точек в плоскости выходного зрачка мы могли бы определить, применяя закон распространения (10.4.47). Однако здесь мы рассматриваем специальный случай распространения от одной плоскости к сопряженной ей плоскости, и этот закон принимает более простую форму, которую можно получить следующим образом.

Пусть — комплексные возмущения в точках обуслпленные возмущением в точке ассоциированного монохроматического

источника (см. стр. 473); тогда возмущения, обусловленные возмущением в точке , в точках выходного зрачка, сопряженных определяются формулами

Здесь — соответствующая функция пропускания для распро странения возмущений между сопряженными точками плоскостей зрачков. По формуле Гопкинса (10.4.356) имеем

Интенсивности в плоскостях обоих зрачков связаны соотношением

Аналогичным соотношением связаны Из (3), (4) и (5) получим

где фазы соответственно.

Рис. 10.10. К вычислению степени когерентности в изображении некогерентиого источника света.

Это соотношение означает, что степень когерентности для любых двух точек выходного зрачка равна степени когерентности для сопряженных точек входного зрачка, а фазы соответствующих значений комплексных степеней когерентности для соответствующих пар точек отличаются на величину , т. е. на геометрическую разность фаз . Пусть

Так как точка сопряжена с а точка то в рамках параксиальной оптики из теоремы Смита—Гельмгольца (см. (4.4.49)) следует, что . Следовательно, комплексную степень когерентности для пары точек в выходном зрачке можно, согласно (1) и (6), записать в виде

Если, как и в (10.4.31), считать значения достаточно хорошими приближениями к полной когерентности и вспомнить, что когда

, то окажется, что шкогерентцый кеазимонохроматический однородный

- круглый источник будет когерентно освещать в выходном зрачке площадки диаметром

где - угол, под которым диаметр изображения источника виден из центра выходного зрачка и средняя длина волны света в пространстве изображения.

Запишем (9) в несколько иной форме. Пусть а обозначает радиус первого темного кольца в картине Эйри, связанной с системой, т. е.

где - числовая апертура со стороны изображения. Тогда, согласно (9) и (10), , следовательно,

В этоц! формуле размеры когерентно освещаемых областей выходного зрачка выражены через «физические параметры», а именно: радиус первого темного кольца соответствующей картины Эйри, радиус геометрического изображения источника и радиус выходного зрачка.

Выходной зрачок и, следовательно, плоскость изображения освещаются почти когерентно, если т. е. если

Когда , т. е. когда

когерентно освещаемые площадки выходного зрачка будут малы по сравнению с самим выходным зрачком, гак что в этом случае выходной зрачок фактически освещается некогерентно. При этом комплексная степень когерентности для пар точек в плоскости изображения будет совпадать со степенью когерентности, обусловленной некогерентным источником, расположенным там же, где и выходной зрачок, и обладающим теми же размерами и формой, причем распределение интенсивности вдоль источника и выходного зрачка одинаково. Следовательно, согласно теореме Ван-Циттерта — Цернике (10.4.21), имеем

Интегрирование проводится по выходному зрачку , а через , обозначают расстояния от произвольной точки на до точек соответственно (рис. 10.11, а). Интенсивность можно рассчитать, зная интенсивность в сопряженной точке входного зрачка, посредством соотношения (5). Поскольку в это соотношение не входит фаза функции пропускания, величина не зависит от аберраций системы. Как правило, интенсивность практически постоянна; кроме того, если точки достаточно близки друг к другу, выражение (14) принимает вид

где К — расстояние между

В общем случае, когда не выполняется ни условие (12), ни условие (13), выходной зрачок освещается частично когерентным светом, который характеризуется комплексной степенью когерентности (8). Тогда значение комплексной степени когерентности для пары точек в плоскости изображения нужно рассчитывать с помощью закона распространения (10.4.45), что приводит к выражению

Пользуясь им, можно также рассчитать интенсивности если учесть, что

Рис. 10.11. К вычислению комплексной степени когерентности в плоскости изображения, а - некогереитное освещение выходного арачка; — частично когерентное освещение выходного зрачка.

Отметим, что в этом случае комплексная степень когерентности зависит от аберраций системы, поскольку подынтегральное выражение содержит фазы функции пропускания.