ГЛАВА 11. СТРОГАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
§ 11.1. Введение
Если исходить из уравнений Масквелла и обычных граничных условий, то проблема дифракции электромагнитного излучения на некотором теле сводится к строго определенной краевой математической задаче. В настоящей главе некоторые аспекты теории дифракции монохроматических волн обсуждаются именно с этой точки зрения. В частности, здесь подробно и строго решается классическая задача дифракции на идеально проводящей полуплоскости.
В ранних теориях, принадлежащих Юнгу, Френелю и Кирхгофу, дифракционное препятствие предполагалось абсолютно «черным»; иными словами, считалось, что все излучение, падающее на препятствие, полностью поглощается, не отражаясь. Это предположение послужило источником внутренних противоречий, так как такое понятие абсолютной «черноты» нельзя было точно определить и оно явно было несовместимым с электромагнитной теорией.
Случаи, когда тело, на котором происходит дифракция, имеет конечную диэлектрическую проницаемость и конечную проводимость, исследовались теоретически; одно из первых исчерпывающих исследований такого рода для дифракции на сфере, выполненное в 1908 г. Ми, рассматривается в гл. 13, посвященной оптике металлов. Вообще говоря, предположение о конечной проводимости приводит к очень большому усложнению математического аппарата, и поэтому часто желательно принять концепцию идеально проводящего (и, следовательно, идеального отражающего) тела. Это, конечно, идеализация, но совместимая с электромагнитной теорией; кроме того, поскольку проводимость некоторых металлов (например, меди) очень велика, подобное представление может служить хорошей аппроксимацией, если частота не слишком велика. Однако следует подчеркнуть, что такая аппроксимация на оптических частотах никогда не является полностью адекватной. Упрощающее предположение о бесконечной проводимости дифракционного препятствия принято в большинстве работ, основанных на строгих математических выводах; наши последующие рассуждения также ограничиваются этим случаем.
Первое строгое решение такой дифракционной задачи было дано в 1896 г. Зоммерфельдом [1] при рассмотрении двумерного случая падения плоской волны на бесконечно тонкую идеально проводящую полуплоскость. Широкая известность его результата основана частично на том искусстве, с которым была решена задача, а частично на том, что найденное им решение можно было выразить точно и просто в виде интегралов Френеля, столь характерных для прежних приближенных теорий.
Многие математики последовали по пути Зоммерфельда. Ранние решения дифракционных задач, относящиеся к точечному и линейному источникам, а также интересные обобщения при рассмотрении дифракции на клине, а не на полуплоскости, связаны с именами Карслоу [2], Макдональда [3] и Бромвича [4]. Были решены также и другие задачи. В последнее время предложены новые методы, применение которых было стимулировано успехами ультракоротковолновой радиотехники. Прежде чем перейти к основному содержанию настоящей главы, упомянем очень коротко о некоторых из этих исследований.
Если существует такая ортогональная система координат 
в которой поверхность дифракционного тела совпадает с одной из поверхностей
то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можно использовать классический способ разделения переменных. Таким методом фактически и воспользовался Ми для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой); особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, заметить, что лишь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды; дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основном к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям.
Другой метод с использованием интегральных уравнений, по-видимому, впервые рассматривался Рэлеем [6]. Некоторые задачи (простейшие из них относятся к полуплоскости) приводят к таким интегральным уравнениям, которые можно точно решить методом, развитым Винером и Хопфом. Его использование Копсоном [81, Швингером и другими, дало ряд новых решений в замкнутой форме [9—11] (более подробная библиография указана в [12, 13]). В этой связи следует упомянуть также о мощном, хотя и несколько сложном вариационном методе, которым можно воспользоваться при расчете энергии, дифрагирующей через отверстие [14].
Из-за ограниченности места мы рассмотрим в Настоящей главе только один метод. Сначала мы изложим некоторые соображения общего характера, имеющие значение в теории дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих структурах. Далее введем представление произвольного поля в виде интеграла по спектру плоских волн и покажем, что это ведет к формулировке некоторых дифракционных задач через «дуальные» интегральные уравнения. При этом задача Зоммерфельда с полуплоскостью легко решается; это решение приводится здесь и достаточно подробно исследуется вместе с некоторым числом побочных вопросов. В настоящей главе рассматривается также несколько смежных вопросов.
