§ 12.2. Рассмотрение дифракции света на ультразвуковых волнах методом интегральных уравнений

В § 2.4 было отмечено, что интегральные уравнения (2.4.4) для эффективного электрического поля и соответствующая формула (2.4.5) для Н эквивалентны уравнениям Максвелла для изотропных немагнитных веществ. Это справедливо, если допустить, что плотность среды не зависит от времени, однако полученный результат легко распространить и на более общий случай, когда такая зависимость от времени существует. Как и раньше, мы будем считать среду немагнитной и непроводящей.

Напомним, что сущность метода интегральных уравнений заключается В том, что влияние среды на распространение электромагнитной волны считается эквивалентным действию электрических диполей, находящихся в вакууме, причем дипольный момент, индуцированный в каком-нибудь физически бесконечно малом элементе объема с линейными размерами, значительно меньшими , пропорционален полю , действующему на этот объем, и числу заключенных в нем молекул (атомов). Связанный с таким диполем в вектор Герца

позволяет получить поле в точке в момент с помощью операции (см. (2.2.43))

Здесь различные символы имеют то же значение, что и в § 2.4; следовательно,

и оператор действует на переменные . В таком случае, аргументируя так же, как и при выводе уравнения (2.4.4), можно получить следующее интегральное уравнение для Е в среде

Как и в (2.4.4), интегрирование производится по всей среде, за исключением небольшой области, занятой атомом в точке наблюдения .

Это основное интегральное уравнение рассматриваемой здесь теории. Когда оно решается относительно Е во всех точкам внутри среды, поле вне среды рассчитывается путем добавления к падающему нолю поля диполя , определяемого интегралом в (1), но взятым по всей области, занятой средой. Следует отметить, что в противоположность обычному методу, требующему составления уравнений Максвелла для среды и вакуума, такое рассмотрение распространения света в среде позволяет избежать явного введения граничных условий на преломляющих поверхностях. Вместо этого в данном методе в пределы интегрирования вводятся размеры среды. Кроме того, изменения плотности среды учитываются в уравнениях Максвелла косвенным путем через диэлектрическую проницаемость в, тогда как в интегральные уравнения (1) функция плотности входит явно.

Уравнение (1) справедливо только при определенных ограничениях. Во-первых, поляризуемость а, рассчитанная на одну молекулу, вообще говори, зависит от частоты поля Е, так что оно должно быть строго монохроматичным. Однако если мы не находимся слишком близко к резонансным частотам, то изменения а с частотой внешнего поля малы. Следовательно, при условии, что все частотные компоненты Е близки друг другу, мы по-прежнему можем использовать уравнение (1). Даже если падающее поле строго монохроматично, поле Е, действующее ни молекулу и вызывающее образование диполей, не обязательно монохроматично, если зависит от времени, от термического возбуждения или от других причин, вызывающих разупорядочение. Ширина полосы частот зависит от вариации во времени. Таким образом, равнением (1) можно пользоваться с уверенностью только тогда, когда изменение во времени происходит медленно по сравнению с изменением . К счастью, это ограничение не является очень серьезным, так как в задачах о рассеянии и дифракции света требуемое условие почти всегда выполняется.

Далее мы считали а скаляром; такое предположение полностью оправдано, для атомов и молекул, обладающих особой симметрией. Оно справедливо также и в более общем случае, когда молекулы беспорядочно ориентированы, что уже отмечалось в § 2.3. Наконец, здесь предполагается, что поглощение света средой ничтожно мало; его можно учесть, допустив, что а комплексно.

Теперь воспользуемся методом интегрального уравнения для изучения дифракции снега на ультразвуковых волнах в жидкости [15, 16].