§ 4.10. Оптические системы с несферическими поверхностями

В подавляющем большинстве оптических систем используются линзы и зеркала, поверхности которых имеют форму плоскости, сферы или параболоида. Выбор таких простых форм связан в основном с теми практическими трудностями, которые встречаются при изготовлении более сложных поверхностей с высокой степенью точности, необходимой в оптике. Использование поверхностей простой формы накладывает, естественно, ограничение на характеристики обычных оптических систем. Поэтому в некоторых системах применяют поверхности более сложной формы, называемые асферическими, несмотря на трудности, встречающиеся при их изготовлении. Еще в 1905 г. Шварцшильд [511 рассмотрел класс объективов телескопов, состоящих из двух нссферических зеркал, и показал, что такие системы можно сделать аггланатическими.

В 1930 г. гамбургский оптик Бернард Шмидт сконструировал телескоп нового типа, состоящий из сферического зеркала и соответствующим образом рассчитанной асферической линзы, помещенной в центр кривизны зеркала. Оказалось, что такая система (она рассмотрена более подробно в § 6.4) обладает замечательными свойствами. С помощью этого телескопа удается сфотографировать на одной пластинке очень большой участок неба, в сотни раз превышающий но размерам участок, который можно сфотографировать при использовании телескопов обычной конструкции. С тех пор камера Шмидта стала очень важным инструментом при астрономических наблюдениях. Асферические системы, в которых используется принцип камеры Шмидта, применяются также в некоторых телевизионных приемниках проекторного типа (см., например, [52]), в рентгеновской фотографии с флуоресцирующим экраном и в некоторых скоростных спектрографах с низкой дисперсией. Асферические поверхности находят также полезное применение в микроскопии (см. § 6.6).

Если одну из поверхностей какой-либо центрированной системы сделать асферической, то в общем случае можно добиться полного осевого стигматизма; с помощью двух асферических поверхностей любую центрированную систему можно сделать в общем случае апланатической. В этом разделе будут выведены формулы, необходимые при конструировании таких поверхностей.

4.10.1. Получение осевого стигматизма.

Рассмотрим лучи, выходящие из осевой точки предмета Р. В общем случае лучи из различных зон выходного зрачка пересекают ось в различных точках пространства изображений. Пусть — последняя поверхность системы и О — осевая точка этой поверхности (рис. 4.41). Покажем, что, подбирая форму поверхности можно полностью скомпенсировать отклонение пучка лучей, формирующих изображение, от гомоцснтричности; иными словами, покажем, что, заменяя поверхность новой поверхностью можно в общем случае добиться пересечения всех лучей в пространстве изображения с осью в любой заданной точке

Из симметрии следует, что достаточно рассматривать только меридиональные лучи. Каждый луч, падающий на последнюю поверхность, характеризуется следующими параметрами: углом который он образует с осью, и расстоянием от начала координат до точки пересечения луча с осью (см. рис. 4.41): удобно пометить все лучи. Пусть I — любой подходящий параметр, например угол образованный лучом с осью в пространстве предмета, или высота точки пересечения луча с первой поверхностью.

Рис. 4.41. К расчету формы асферической поверхности, обеспечивающей осевой стигматизм.

Тогда пучок полностью характеризуется двумя функциональными соотношениями

Можно предположить, что для осевого луча. В общем случае мы не знаем явного вида соотношений (1); однако методом построения хода лучей можно получить таблицу значений и Н для любого заданного набора значений t.

Пусть — волновой фронт пучка, проходящий через точку О (см. рис. 4.41), точка пересечения луча, идущего из точки М, сэтой поверх ностью. Предполагая, что можно найти скорректированную поверхность с требуемыми свойствами, получим, что в исправленной таким образом системе оптическая длина пути от до равна оптической длине пути от О до Следовательно, если — точка пересечения луча с то

Обозначая через показатель преломления среды, расположенной перед поверхностью и через показатель преломления среды в пространстве изображения, получим

где расстояние от О до

Оптическую длину пути входящую в выражение для также можно вычислить с помощью заданных величин. Применяя инвариантное соотношение Лагранжа (3.3.1) к линии, образованной отрезком оси отрезком луча и кривой на волновом фронте получим

где — единичный вектор вдоль луча и — элемент пути интегрирования.

Далее, из рис. 4.41 следует, что

тогда (4) принимает вид

Таким образом, величина выражается через интеграл (6), который можно численно проинтегрировать с помощью таблицы значений Подставляя (3) и (6) в (2), получим следующее уравнение для

где

Следовательно,

Из рис. 4.41 видно, что

Перед корнем в выражении (9) необходимо взять положительный знак, так как при и мы полагаем, что положительная величина (см. рис. 4.41). Наконец, комбинируя (9) и (10), получим

Последнее соотношение является точным параметрическим уравнением асферической поверхности выраженным через свободный параметр

Представляет интерес частный случай, когда фокус лежит на бесконечности При выводе соответствующих формул учтем, что величины содержат только в первой степени. Следовательно, при достаточно больших

В пределе при выражение (11) сводится к

Мы рассмотрели только случай, когда асферическая поверхность является последней в системе. Однако использованный нами метод можно применить и к

расчету асферической поверхности, находящейся внутри оптической системы. В этих случаях вычисления значительно более громоздки, и поэтому мьгих не будем рассматривать в настоящей книге.