§ 5.3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)

Используя рассуждения, совершенно аналогичные тем, которые относились в § 5.1 к функции аберраций, можно показать, что разложение в степенной ряд возмущенного эйконала Шварцшильда имеет в силу симметрии задачи следующий вид:

где — полином степени по четырем переменным; более того, эти переменные входят только в трех комбинациях:

В соотношении (1) отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречило бы тому, что, согласно в приближении параксиальной оптики.

Поскольку переменные входят только в комбинациях (2), член должен иметь вид

где — постоянные. Знаки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения для лучевых аберраций в этом случае принимают простой вид. Вычисление аберрационных постоянных для произвольной центрированной системы проводится в § 5.5.

Конечно, разложение в степенной ряд функции имеет такой же вид, как и (1), но оно не содержит члена нулевого порядка и главный член отличается от тем, что в нем отсутствует слагаемое как это непосредственно следует из уравнения (5.2.19). Таким образом, общее выражение для волновой аберрации паинизшего (четвертого) порядка записывается следующим образом;

где те же коэффициенты, что и в (3).

Подставляя последнее соотношение в уравнение (5.2.12), получим общее выражение для компонент лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде

Коэффициент А не входит в выражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшего порядка, характеризуемых пятыо коэффициентами Как указывалось выше, эти аберрации называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.

При исследовании аберраций Зайделя удобно выбрать оси таким образом, чтобы плоскость проходила через точку предмета; тогда Если затем ввести полярные коордицаты

то (4) примет вид

а (5) - вид

В частном случае равенства нулю всех коэффициентов в (7) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок совпадает (в рассматриваемом приближении) с опорной сферой Гаусса (см. рис. 5.2). В общем случае эти коэффициенты отличны от пуля. Тогда каждый член в (7) описывает определенный тип отклонения волнового фронта от правильной сферической формы; на рис, 5.3 показаны пять различных типов аберраций.

Важность лучевых аберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрировать графически с помощью так называемых

аберрацаонных (или характеристических) кривых. Эти кривые являются геометрическим местом точек пересечения лучей, выходящих из фиксированной зоны выходного зрачка, с плоскостью изображения. Тогда поверхность, образованная аберрационными кривыми, соответствующими всем возможным значениям представляет собой неидеальиое изображение.

Рассмотрим отдельно каждую из аберраций Зайделя.

Рис. 5.3. Первичные волновые аберрации. с — сферическая аберрация, — кома, — астигматизм; — кривизна поля, — дисторсия,

I. Сферическая аберрация . Если все коэффициенты, за исключением В, равны нулю, то (8) принимает вид

Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположены в точке параксиального изображения, а радиусы пропорциональны третьей степени радиуса зоны но не зависят от положения предмета в поле зрения. Такой дефект изображения называется сферической аберрацией.

Сферическая аберрация, будучи независимой искажает как осевые, так и внеосевые точки изображения. Лучи, выходящие из осевой точки предмета и составляющие существенные углы с осью, пересекут ее в точках, лежащих перед параксиальным фокусом или за ним (рис. 5.4). Точка, в которой пересекаются с осью лучи от края диафрагмы, называется краевым фокусом. Если экран в области изображения помещен под прямым умом к оси, то существует такое положение экрана, при котором кругогое пятно изображения на нем минимально; это минимальное «изображение» называется наименьшим кружком рассеяния.

II. Кома Аберрация, характеризующаяся отличным от нуля коэффициентом называется комой. Компоненты лучевой аберрации в этом

случае имеют, согласно (8), вид

Как мы видим, при фиксированных и радиусе зоны точка (см. рис. 5.1) при изменении от 0 до дважды описывает в плоскости изображения окружность. Радиус окружности равен центр находится на расстоянии от параксиального фокуса в сторону отрицательных значений у. С тедовательно, эта окружность касается двух прямых, проходящих чере) параксиальное изображение Р, и составляющих с осью у углы в 30°. Если пробегает все возможные значения, то совокупность подобных окружностей образует область, ограниченную отрезками этих прямых и дугой наибольшей аберрационной окружности (рис. 5.5).

Рис. 5.4. Сферическая аберрация

Рис. 5.5. Кома.

Размеры получающейся области линейно возрастают с увеличением расстояния точки предмета от оси системы. В § 4.5 было показано, что при выполнении условия синусов Аббе система дает резкое изображение элемента плоскости предмета, расположенного в непосредственной близости от оси. Следовательно, в этом случае разложение функции аберрации не может содержать члены, линейно зависящие от Отсюда вытекает, что если условие синусов выполняется, первичная кома отсутствует.

III. Астигматизм и кривизна поля ). Аберрации, характеризующиеся коэффициентами удобнее рассматривать совместно. Если все остальные коэффициенты в (8) равны нулю, то

Чтобы продемонстрировать важность таких аберраций, предположим вначале, что пучок, формирующий изображение, очень узок. Согласно § 4.6 лучи такого пучка пересекают два коротких отрезка кривых, одна из которых (тангенциальная фокальная линия) ортогональна меридиональной плоскости, а другая (сагиттальная фокальная линия) лежит в этой плоскости. Рассмотрим теперь свет, исходящий от всех точек конечной области плоскости предмета. Фокальные линии в пространстве изображения перейдут в тангенциальную и сагиттальную фокальные поверхности. В первом приближении эти поверхности молено считать сферами. Пусть их радиусы, которые считаются положительными, если соответствующие центры кривизны расположены по ту сторону от плоскости изображения, откуда распространяется свет (в случае, изображенном на рис.

Радиусы кривизны можно выразить через коэффициенты С и D. Для этого при вычислении лучевых аберраций с учетом кривизны удобнее использовать обычные координаты, а не переменные Зайделя. Имеем (рис. 5.7)

где — малое по величине расстояние между сагиттальной фокальной линией и плоскостью изображения. Если и — расстояние от этой фокальной линии до оси, то

или

Рис. 5.6. Тангенциальная и сагиттальная фокальные поверхности.

Рис. 5.7. Астигматизм и кривизна поля

Если считать и величиной первого порядка малости, то можно заменить на а в последнем уравнении отбросить тогда

если еще пренебречь и по сравнению с то из (12) находим

Аналогично

Запишем теперь эти соотношения через переменные Зайделя. Подставляя в них (5.2.6) и (5.2.8), получим

или

и аналогично

В последних двух соотношениях у, можно заменить на и тогда, используя (11) и (6), получим

Величину обычно называют тангенциальной кривизной поля, величину — сагиттальной кривизной поля, а их полусумму

которая пропорциональна их среднему арифметическому значению, — просто кривизной поля.

Из (13) и (18) следует, что на высоте от оси расстояние между двумя фокальными поверхностями (т. е. астигматическая разность пучка, формирующего изображение) равно

Полуразность

называется астигматизмом. В отсутствие астигматизма имеем будет показано, что радиус общей, совпадающей, фокальной поверхности можно в этом случае вычислить с помощью простой формулы, в которую входят радиусы кривизны отдельных поверхностей системы и показатели преломления всех сред.

IV. Дисторсия Если в соотношениях (8) отличен от нуля лишь коэффициент Е, то

Поскольку сюда не входят координаты , отображение получится стигматическим и не будет зависеть от радиуса выходного зрачка; однако расстояния точек изображения до оси не будут пропорциональны соответствующим расстояниям для точек предмета. Эта аберрация называется дисторсией.

При наличии тако аберрации изображение любой прямой в плоскости предмета, проходящей через ось, будет прямой линией, но изображение любой другой прямой будет искривленным. На рис. 5.8, а показан предмет в виде сетки прямых, параллельных осям х и у и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Рис. 5.8. Дисторсия. а — предмет; б — бочкообразная дисторсия в — подушкообразная дисторсия

Рис. 5.8, б иллюстрирует так называемую бочкообразную дисторсию а рис. 5.8, в — подушкообразную дисторсию

Ранее указывалось, что из пяти аберраций Зайделя три (сферическая, кома и астигматизм) нарушают резкость изображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение и форму. В общем случае невозможно сконструировать систему, свободную как от всех первичных аберраций, так и от аберраций более высокого порядка; поэтому всегда приходится искать какое-то подходящее компромиссное решение, учитывающее их относительные величины. В некоторых случаях аберрации Зайделя можно существенно уменьшить за счет аберраций более высокого порядка. В других случаях необходимо полностью уничтожить некоторые аберрации, несмотря на то, что при этом появляются аберрации других типов. Например, в телескопах должна быть полностью устранена кома, потому что при наличии ее изображение будет несимметричным и все прецизионные астрономические измерения положения

потеряют смысл. С другой стороны, наличие некоторой кривизны поля и дисторсии относительно безвредно, поскольку от них можно избавиться с помощью соответствующих вычислений.

До сих пор мы изучали аберрации только в рамках геометрической оптики. Однако если аберрации малы (волновые аберрации порядка длины волны или меньше), то становятся существенными дифракционные эффекты. В этом случае геометрическая теория должна быть дополнена более тонкими исследованиями, что и будет сделано в гл. 9.